Funktion, Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Grischa |
| Aufgabe | Die Funktion [mm]g : \IR \to \IR[/mm] sei gegeben durch:
[mm]g(x)=\begin{cases}
cos(\frac{1}{x}), & \text{falls }x \not= 0 \\
0, & \text{falls }x = 0 \\
\end{cases}[/mm]
Untersuchen Sie, für welche [mm]x \in \IR[/mm] diese Funktionen stetig sind. (Insbesondere ist also zu untersuchen, ob diese Funktionen im Punkt [mm]x_{0} = 0[/mm] stetig sind. |
Mir fehlt leider der Ansatz bei dieser Aufgabe. Erstmal einmal aufzeichnen und sich einen groben Überblick ist durch den Cos ja fast unmöglich.
Und auch die Stetigkeit in 0 nachzuweisen, bereitet mir Probleme.
Ich brauche ja eine Folge [mm]x_{n} \to 0[/mm] . Bei Stetigkeit würde also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n) = g(x_0)[/mm] . Aber [mm]g(0) = 1[/mm] ...
Bitte um Denkansätze. Viele Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Grischa |
> Aber [mm]g(0) = 1[/mm] ...
Das ist quatsch, ist durch die Fallunterscheidung ja 0 ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Mir fehlt leider der Ansatz bei dieser Aufgabe. Erstmal
> einmal aufzeichnen und sich einen groben Überblick ist
> durch den Cos ja fast unmöglich.
Wenn du dich z.B. von rechts der Stelle 0 annäherst, läuft [mm] $\bruch1x$ [/mm] gegen unendlich. Somit osziliiert der Funktionsgraph zwischen 1 und -1.
> Und auch die Stetigkeit in 0 nachzuweisen, bereitet mir
> Probleme.
>
> Ich brauche ja eine Folge [mm]x_{n} \to 0[/mm] . Bei Stetigkeit
> würde also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n) = g(x_0)[/mm] .
> Aber [mm]g(0) = 0[/mm] ...
Betrachte mal [mm] $x_n=\bruch1{n*2\pi}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 11:04 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> > Mir fehlt leider der Ansatz bei dieser Aufgabe. Erstmal
> > einmal aufzeichnen und sich einen groben Überblick ist
> > durch den Cos ja fast unmöglich.
> Wenn du dich z.B. von rechts der Stelle 0 annäherst,
> läuft [mm]\bruch1x[/mm] gegen unendlich. Somit osziliiert der
> Funktionsgraph zwischen 1 und -1.
Das müsste doch schon genügen.
Funktion ist stetig, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\0}f(x)=f(x_0) [/mm] ist.
Folglich die Frage: Existiert überhaupt der Grenzwert.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 11:11 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Wenn du dich z.B. von rechts der Stelle 0 annäherst,
> > läuft [mm]\bruch1x[/mm] gegen unendlich. Somit osziliiert der
> > Funktionsgraph zwischen 1 und -1.
> Das müsste doch schon genügen.
> Funktion ist stetig, wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0}f(x)=f(x_0)[/mm] ist.
> Folglich die Frage: Existiert überhaupt der Grenzwert.
Im Prinzip hast du natürlich recht. Nur ist es schwierig, formal mit eher der Anschauungsebene entnommenen Begriffen wie "oszillieren" umzugehen. Da ist es deutlich einfacher, EINE konkrete Folge [mm] $x_n$ [/mm] zu betrachten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Grischa |
> Wenn du dich z.B. von rechts der Stelle 0 annäherst,
> läuft [mm]\bruch1x[/mm] gegen unendlich. Somit osziliiert der
> Funktionsgraph zwischen 1 und -1.
[mm]\bruch{1}{x}[/mm] läuft doch gegen 0?!
> Betrachte mal [mm]x_n=\bruch1{n*2\pi}[/mm].
>
Sprich? Den Grenzwert bestimmen?
Ich glaube ich habe das Grundproblem noch nicht ganz durschaut. Also die Funktion spielt sich doch bedingt durch den cos nur um Invervall [0,1] ab. Ich soll also jetzt herausfinden für welche [mm]x \in \IR[/mm]die Funktion in diesem Intervall stetig ist.
Bisher haben wir das meistens erst einmal visualisiert und uns dann herangetastet.
Um die Stetigkeit zu beweisen, suche ich mir also irgend eine beliebige Folge, die konvergiert und beweise mit dieser Folge die Stetigkeit. (richtig?)
In diesem Fall also [mm]x_{n} = \bruch{1}{n \cdot 2\pi}[/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Wenn du dich z.B. von rechts der Stelle 0 annäherst,
> > läuft [mm]\bruch1x[/mm] gegen unendlich. Somit osziliiert der
> > Funktionsgraph zwischen 1 und -1.
>
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] läuft doch gegen 0?!
Nein, $x$ läuft von rechts gegen 0. Dann läuft [mm] $\bruch1x$ [/mm] gegen unendlich.
> > Betrachte mal [mm]x_n=\bruch1{n*2\pi}[/mm].
> >
>
> Sprich? Den Grenzwert bestimmen?
Zeige [mm] \lim_{n\to\infty}x_n=0.
[/mm]
Wenn $g$ stetig in $0$ ist, muss auch [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)=g(0)=0$ [/mm] gelten.
Untersuche also [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)$.
[/mm]
> Ich glaube ich habe das Grundproblem noch nicht ganz
> durschaut. Also die Funktion spielt sich doch bedingt durch
> den cos nur um Invervall [0,1] ab.
Die Funktionswerte von g liegen alle im Intervall [-1,1]. Definitionsbereich von g ist ganz [mm] $\IR$.
[/mm]
> Ich soll also jetzt
> herausfinden für welche [mm]x \in \IR[/mm]die Funktion in diesem
> Intervall stetig ist.
(Du sollst herausfinden, für welche [mm] $x\in\IR$ [/mm] g an der Stelle $x$ stetig ist.)
> Um die Stetigkeit zu beweisen, suche ich mir also irgend
> eine beliebige Folge, die konvergiert und beweise mit
> dieser Folge die Stetigkeit. (richtig?)
Genau. Wobei "beliebig" im Falle des Nachweises der Stetigkeit im Punkte [mm] $x_0$ [/mm] heißt, dass du keine Annahmen an die Folge stellst (außer dass sie gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert).
Willst du die Stetigkeit im Punkte [mm] $x_0$ [/mm] wiederlegen, genügt die Betrachtung einer konkreten von dir gewählten Folge.
> In diesem Fall also [mm]x_{n} = \bruch{1}{n \cdot 2\pi}[/mm] ???
Das wäre so eine konkrete Folge. Wenn für sie nicht [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)\to [/mm] g(0)=0$ gilt, kann g im Punkte 0 nicht stetig sein. Anderenfalls müsstest du die Untersuchung auf Stetigkeit im Punkte 0 fortführen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Zur Stetigkeit von g an den Stellen [mm] $x\not=0$:
[/mm]
Variante 1:
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=x$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)=g(x)$.
[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=x\not=0$ [/mm] ist [mm] $x_n\not=0$ [/mm] für alle genügend großen n.
Daher gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)=\lim_{n\to\infty}\cos(\bruch1{x_n})=\ldots$.
[/mm]
Variante 2:
Zeige, dass die Abbildung
[mm] $f\colon\IR\setminus\{0\}\to\IR,\quad f(x)=\cos(\bruch1x)$
[/mm]
stetig ist.
Sei nun [mm] $x\in\IR\setminus\{0\}$. [/mm] Da g und f in einer Umgebung (nämlich z.B. [mm] (0,\infty) [/mm] für x>0 und [mm] (-\infty,0) [/mm] für x<0) von x übereinstimmen, folgt aus der Stetigkeit von f im Punkte x die Stetigkeit von g im Punkte x.
(Kennt diesen Zusammenhang, dass es für die Stetigkeit einer Abbildung im Punkte x nur darauf ankommt, wie sie in einer Umgebung von x aussieht?)
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