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Hallo,
Gegeben sei folgende Funktion:
f(x, [mm] y)=\bruch{x}{y} [/mm] mit f: [mm] \IR^2 [/mm] \ {(x, y) | y=0} [mm] \to \IR^2
[/mm]
Diese Funktion ist mit diesem Definitionsbereich nicht umkehrbar, da z.B. die beiden Elemente x1=(1, 2) und x2=(2,4) das selbe Bild treffen.
In der Vorlesung haben wir dazu den Definitionsbereich D wie folgt eingeschränkt, damit die Funktion umkehrbar wird:
D={(x, y) | x, [mm] y\in\IR [/mm] und x und y sind teilerfremd zueinander}={(x, y) | ggT(x,y)=1}
Das ist soweit klar.
Dadrunter habe ich mir noch notiert:
D={(x, y) | [mm] x\in\IR [/mm] und y=3} Mit diesem Definitionsbereich sollte die Funktion ebenfalls umkehrbar sein.
Jetzt in der Wiederholung verwundert mich dies. Das würde ja bedeuten, dass ggT(x,3)=1 für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt, was doch nicht der Fall ist?!
Zum Beispiel ist ggT(9, 3)=3
Somit wäre die Funktion mit dem Definitionsbereich D={(x, y) | [mm] x\in\IR [/mm] und y=3} nicht umkehrbar.
Liege ich damit richtig?
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Hallo,
du lässt dich da zu sehr auf diesen 'Nebenkriegsschauplatz' ggT ein. Man muss einfach nur dafür sorgen, dass f zumindest injektiv ist. Und das wurde hier auf zweierlei Arten erreicht: einmal durch die Teilerfremdheit von x und y, ein anderes Mal mit dem Festhalten eines der beiden Argumente.
Gruß, Diophant
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Hallo Peeeeeeter, 
> Hallo,
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> f(x, [mm]y)=\bruch{x}{y}[/mm] mit f: [mm]\IR^2[/mm] \ {(x, y) | y=0} [mm]\to \IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist sicher keine Abbildung auf den $\IR^2$, sondern $\IR^2\to\IR$. Die Notation lässt übrigens auch sonst zu wünschen übrig.
> Diese Funktion ist mit diesem Definitionsbereich nicht
> umkehrbar, da z.B. die beiden Elemente x1=(1, 2) und
> x2=(2,4) das selbe Bild treffen.
Richtig. Kann eine Abbildung von \IR^2 auf \IR überhaupt umkehrbar sein? Bevor Du vorschnell antwortest: beide sind gleichmächtig.
> In der Vorlesung haben wir dazu den Definitionsbereich D
> wie folgt eingeschränkt, damit die Funktion umkehrbar
> wird:
>
> D={(x, y) | x, [mm]y\in\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und x und y sind teilerfremd
> zueinander}={(x, y) | ggT(x,y)=1}
>
> Das ist soweit klar.
Mir nicht. Was ist denn der ggT zweier reeller Zahlen?
> Dadrunter habe ich mir noch notiert:
>
> D={(x, y) | [mm]x\in\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und y=3} Mit diesem
> Definitionsbereich sollte die Funktion ebenfalls umkehrbar
> sein.
> Jetzt in der Wiederholung verwundert mich dies. Das würde
> ja bedeuten, dass ggT(x,3)=1 für alle [mm]x\in\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gilt, was
> doch nicht der Fall ist?!
Ich glaube kaum, dass das gemeint ist. Eher ist anzunehmen, dass von Anfang an y\not={0} als feststehender Parameter gemeint war. Frag mal, was die Kommilitonen so in ihrer Mitschrift stehen haben.
> Zum Beispiel ist ggT(9, 3)=3
>
> Somit wäre die Funktion mit dem Definitionsbereich D={(x,
> y) | [mm]x\in\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und y=3} nicht umkehrbar.
>
> Liege ich damit richtig?
Schwer zu sagen. Wenn y eine Variable ist, ist schon die letzte Fragestellung unsinnig. Ist y ein Parameter, wäre die Funktion sehr wohl umkehrbar. Was der ggT allerdings in der ganzen Chose soll, würde sich dadurch immer noch nicht erklären lassen.
Worüber geht denn die Vorlesung? Reelle Analysis mehrerer Veränderlicher?
Grüße
reverend
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