Funktion bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mo 11.01.2016 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe | Seien $f, g: [mm] \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ [/mm] differenzierbar mit $f' = g$ und $g' = f$. Sei ferner $f(0)=g(0)=0$.
Zeigen Sie, dass dann auch $f = g = 0$ gilt.
Hinweis: Seien [mm] $f_{1},g_{1}$ [/mm] und [mm] $f_{2}, g_{2}$ [/mm] differenzierbare Funktionen, welche den geforderten Eigenschaften entsprechen. Betrachten Sie die Hilfsfunktionen:
[mm] $h_{1}(x) [/mm] := [mm] f_{1}(x)*g_{2}(x) [/mm] - [mm] f_{2}(x)*g_{1}(x)$ [/mm] und [mm] $h_{2}(x) [/mm] := [mm] f_{1}(x)*f_{2}(x) [/mm] - [mm] g_{1}(x)*g_{2}(x)$. [/mm] |
Hallo,
eine Aufgabe aus meinen Hausaufgaben, bei der ich leider nicht weiter komme.
Ich habe [mm] $h_{1}$ [/mm] und [mm] $h_{2}$ [/mm] abgeleitet, dann bekomme ich [mm] $h_{1}' [/mm] = 0$ und [mm] $h_{2}' [/mm] = 0$, dann sind also [mm] $h_{1}$ [/mm] und [mm] $h_{2}$ [/mm] konstant. Ferner gilt [mm] $h_{1}(0)=h_{2}(0)=0$ [/mm] und somit sind [mm] $h_{1}=h_{2}=0$ [/mm] konstant.
Mit [mm] $f_{1}=f_{2}=f$ [/mm] und [mm] $g_{1}=g_{2}=g$ [/mm] erhalte ich dann zum Beispiel [mm] $f^2 [/mm] = [mm] g^2 \Rightarrow [/mm] f = [mm] \pm [/mm] g$.
Doch dann fehlt mir wohl noch irgendeine schlaue Kombination des bisher erarbeiteten. Was ist der nächste (und vermutlich letzte) Schritt?
Vielen Dank schon einmal für jede Unterstützung.
Gruß,
Sandro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mo 11.01.2016 | | Autor: | Marc |
Hallo sandroid!
> Doch dann fehlt mir wohl noch irgendeine schlaue
> Kombination des bisher erarbeiteten. Was ist der nächste
> (und vermutlich letzte) Schritt?
In [mm] $h_j$, [/mm] $j=1,2$, kann man ja zwei verschiedene Paare [mm] $(f_i,g_i$) [/mm] ($i=1,2$) von Funktionen einsetzen (die alle die erforderlichen Bedingungen erfüllen).
In [mm] $h_2$ [/mm] hast du ja z.B. [mm] $(f_1,g_1)=(f,g)$ [/mm] und [mm] $(f_2,g_2)=(f,g)$ [/mm] gesetzt.
Ich würde mal schauen, ob du nicht neben $f$ und $g$ noch eine dritte, hier sehr interessante Funktion finden kannst, die ebenfalls die Bedingungen für $f$ (oder $g$) erfüllt.... Ich denke da an eine sehr einfache Funktion... Wenn du diese drei Funktionen (also f,g und die dritte) in [mm] $h_1$ [/mm] einsetzt, müsste das gewünschte eigentlich schnell folgen. Wenn nicht, frage bitte nach, dann gebe ich dir mehr Tipps (oder ich habe mich geirrt  )
Viele Grüße
Marc
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Hallo,
danke für deine Antwort.
Meinst du als die dritte Funktion die Exponentialfunktion?
Dann gilt z.B. [mm] $h_{1}(x) [/mm] = f(x) * [mm] e^x [/mm] - [mm] e^x [/mm] * g(x) = 0 [mm] \Rightarrow e^x [/mm] (f(x) - g(x)) = 0$. Da [mm] $e^x \not= [/mm] 0$ folgt $f(x) = g(x)$. Ist das richtig? Wen ja, wäre das natürlich schon mal etwas mehr, aber ich komme damit immer noch nicht weiter.
Gruß,
Sandro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mo 11.01.2016 | | Autor: | Marc |
Hallo!
> Meinst du als die dritte Funktion die Exponentialfunktion?
Nein, noch vieel einfacher...
> Dann gilt z.B. [mm]h_{1}(x) = f(x) * e^x - e^x * g(x) = 0 \Rightarrow e^x (f(x) - g(x)) = 0[/mm].
> Da [mm]e^x \not= 0[/mm] folgt [mm]f(x) = g(x)[/mm]. Ist das richtig? Wen ja,
> wäre das natürlich schon mal etwas mehr, aber ich komme
> damit immer noch nicht weiter.
Die Exponentialfunktion erfüllt aber nicht $f(0)=0$...
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 11.01.2016 | | Autor: | sandroid |
Tut mir Leid, ich komm nicht drauf, welche du meinst.
Die einzige "einfache" Funktion, die mir noch einfällt mit [mm] $f_{2}'' [/mm] = [mm] f_{2}$ [/mm] wäre [mm] $f_{2}(x) [/mm] = 0$ konstant und entsprechend ebenso [mm] $g_{2}(x) [/mm] = 0$. Das ist doch aber langweilig, oder? Da ich ja dann mittels [mm] $h_{1} [/mm] = [mm] h_{2} [/mm] = 0$ nichts neues erfahre, oder irre ich mich?
Nun raus mit der Sprache, welche meinst du 
Vielen Dank schon mal.
Gruß,
Sandro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Mo 11.01.2016 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandro!
> Tut mir Leid, ich komm nicht drauf, welche du meinst.
>
> Die einzige "einfache" Funktion, die mir noch einfällt mit
> [mm]f_{2}'' = f_{2}[/mm] wäre [mm]f_{2}(x) = 0[/mm] konstant und
> entsprechend ebenso [mm]g_{2}(x) = 0[/mm]. Das ist doch aber
> langweilig, oder? Da ich ja dann mittels [mm]h_{1} = h_{2} = 0[/mm]
> nichts neues erfahre, oder irre ich mich?
>
> Nun raus mit der Sprache, welche meinst du
Ja, ich meinte genau die Nullfunktion.
Mit [mm] $(f_1,g_1)=(f,g)$ [/mm] und [mm] $(f_2,g_2)=(0,g)$ [/mm] ist [mm] $h_1$ [/mm] doch
[mm] $h_1=f\cdot g-0\cdot 0=f\cdot [/mm] g$
Mit deiner Vorarbeit folgt doch dann
[mm] $\pm f^2=0$
[/mm]
und daraus
$f=0$
Edit: siehe nachfolgende Beiträge
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mo 11.01.2016 | | Autor: | sandroid |
Hallo Marc,
danke nochmal für deine Antwort.
Ich bin noch nicht überzeugt: Bezüglich [mm] $f_{2}$ [/mm] und [mm] $g_{2}$ [/mm] muss doch gelten: [mm] $f_{2}' [/mm] = [mm] g_{2}$ [/mm] bzw. [mm] $g_{2}' [/mm] = [mm] f_{2}$. [/mm] Für [mm] $(f_{2}, g_{2}) [/mm] = (0, g)$ gilt das doch aber nur, wenn $g = 0$ konstant. Aber genau das ist ja zu zeigen, also drehen wir uns im Kreis.
Oder habe ich etwas falsch verstanden?
Gruß,
Sandro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mo 11.01.2016 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandro!
> Ich bin noch nicht überzeugt: Bezüglich [mm]f_{2}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm]
> muss doch gelten: [mm]f_{2}' = g_{2}[/mm] bzw. [mm]g_{2}' = f_{2}[/mm]. Für
> [mm](f_{2}, g_{2}) = (0, g)[/mm] gilt das doch aber nur, wenn [mm]g = 0[/mm]
> konstant. Aber genau das ist ja zu zeigen, also drehen wir
> uns im Kreis.
>
> Oder habe ich etwas falsch verstanden?
Stimmt, du hast Recht, das hatte ich übersehen. Ich sehe im Augenblick leider auch nicht, wie ich meine Überlegung retten kann, sorry!
VIele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mo 11.01.2016 | | Autor: | sandroid |
Kein Problem,
danke dir trotzdem für deine Bemühungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 14.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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