Funktion bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:44 So 04.06.2006 | | Autor: | Bit2_Gosu |
| Aufgabe | Eine bezüglich der y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung geht durch
P(0/-4) und hat in Q(-4/0) eine waagerechte Tangente. Bestimme die Funktion. |
Hallo !
Es gilt also f(0) = -4
Außerdem hab ich mir überlegt, dass gilt f'(-4) = 0
und wegen der Achsensymmetrie f'(4) = 0
Erstens komme ich hier nicht weiter und zweitens frage ich mich wie die Ableitung einer Parabel 4.ter Ordnung, die ja eine Funktion 3.ter Ordnung ist aus -4 das selbe machen kann wie aus 4...
Das geht doch nur bei Funktionen grader Ordnungen oder nicht?
Vielen Dank schon mal !!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 So 04.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Damit eine Parabel zur y-Achse symmetrisch sein kann, muss ihr Extremum auf der y-Achse liegen. In deiner Aufgabe ist das der Punkt Q, der aber nicht auf der y-Achse liegt. Kann es sein, dass du aus Versehen die Punkte P und Q vertauscht hast?
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 So 04.06.2006 | | Autor: | Bit2_Gosu |
hm nein ich hab noch mal nachgeschaut; die Aufgabenstellung steht genauso im Buch.
Aber vielleicht meinten sie "im Punkt Q(0/-4) ??!??
Sicher, dass die Aufgabenstellung so nicht richtig sein kann??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 So 04.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
doch, doch, díe Aufgabe ist sicherlich schon richtig so.
Eine Parabel 4. Ordnung kann ja schließlich 3 Extrempunkte haben. Wenn sie symmetrisch ist, liegt einer auf der y-Achse, und die beiden anderen links und rechts davon.
Schöne Grüße,
ardik
(in Eile, sonst würde er noch merh zur Aufgabe schreiben.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 So 04.06.2006 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Sagen wir mal P und Q wären identisch wäre es jawohl f(x) = [mm] x^4 [/mm] -4
Kann sone einfach Funktion denn überhaupt die Lösung sein ?!? ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 04.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Bit2_Gosu,
als Ansatz für $f(x)$ nimmst Du
$f(x) = [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + c$
(wegen der Symmetrie nur gerade Exponenten und den konstanten Summanden am Ende).
Daraus die Ableitung.
Dann setzt Du die entsprechenden Koordinaten etc. ein und bastelst so ein Gleichungssystem.
Also z.B.
$f(0) = [mm] a*0^4 [/mm] + [mm] b*0^2 [/mm] + c = -4$
(um mit dem trivialsten anzufangen...  )
Genügt das?
Schöne Grüße,
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
vielleicht noch ein paar allgemeine Anmerkungen zur Symmetrie von meiner Seite:
- Ganzrationale Funktionen, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind haben immer die Form [mm]\sum_{k=0}^n a_k x^{2k}[/mm], es kommen also nur gerade Exponenten vor. Daher auch ardiks Ansatz.
- Entsprechend haben ganzrationale Funktionen, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind nur ungerade Exponenten.
- Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, dann ist es ihre Ableitung deswegen noch lange nicht. Es gilt sogar: ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, dann ist ihre Ableitung punktsymmetrisch zum Ursprung.
Wenn man sich so eine Funktion mal anschaut wird auch schnell klar warum: f hat an der Stelle x und -x zwar den gleichen Funktionswert, aber ist ja einmal steigend und einmal fallend (aber jeweils "gleich steil") - anders kriegt man die Symmetrie nicht hin. Dementsprechend ist auch f'(x) = -f'(-x). Formaler könnte man das ganze auch mal am Differentialquotienten nachrechnen, da müsste das gleiche rauskommen.
Gruß
piet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 So 04.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Sorry, du hast dich nicht vertippt, mein Fehler.
Hier mein Ergebnis zum Vergleichen:
[mm] f(x)=\bruch{-1}{6*192}x^{4}+\bruch{1}{3}x^{2}-4.
[/mm]
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 So 04.06.2006 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Vielen Dank an alle ! ;)
stimmt ich hab auch ne Lösung gefunden mit Ardiks Ansatz
meine: [mm] (-5/32)*x^4+5*x^2-4
[/mm]
es muss nur gelten b= -32*a , d.h es gibt unendlich viele Lösungen !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:09 Mo 05.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Bit2_Gosu,
Du hast offenkundig noch eine Bedingung übersehen, so dass Dir noch eine Gleichung fehlt:
Der Graph geht ja durch den Punkt Q, also gilt auch: $f(4) = 0$.
Und damit erhältst Du dann eine eindeutige Lösung.
Schöne Grüße,
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 So 04.06.2006 | | Autor: | Teufel |
Ok, die allgemeine Form ist, weil es symmetrisch an der y-Achse ist, [mm] ax^{4}+cx²+e=f(x) [/mm] (bx³ und dx entfallen).
Du weißt, dass f(x) durch P(0|-4) geht. Also die 0 in f(x) eingesetzt bringt dir e=-4.
Weiter gehts.
Du weisst, dass bei -4 der Anstieg 0 ist. Also leitest du erst einmal f(x) ab.
f'(x)=4ax³+2cx
Da f'(x) 0 sein soll, wenn x=-4 ist heißt das:
0=-256-8c [mm] \Rightarrow [/mm] c=-32a, was du ja schon richtig hattest.
Und jetzt kannst du f(x) auch so schreiben:
ax4-32ax²-4=f(x).
Super, nur noch eine relevante Variable. Und nun setzt du den Punkt Q ein (P bietet sich nicht an, weil a dann wieder wegfällt).
Daraus erhälst du dann ein a, daraus das c und du bist fertig :)
Edit: Und dormant, dein Ergebnis stimmt leider nicht :) und deine bis jetzt auch noch nicht Gosu.
|
|
|
|
