Funktion betrachten < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Warlock |
Hy und schönes Allerheiligen euch allen!!
hätte eine Frage an euch, wo ich ganz ehrlich null Durchblick habe. Ich habe nicht mal einen Ansatz wie ich diese Aufgabe lösen könnte!!
Also hier mal die Aufgabe:
Wir betrachten die Funktion [mm] s(\partial) [/mm] = [mm] \wurzel{1+\gamma*sin(2\partial)+1/2\gamma^{2}*(1-cos(2\partial)}
[/mm]
wobei [mm] \gamma \ge0 [/mm] eine beliebige , feste Zahl ist. Bestimmen Sie, für welchen Winkel [mm] \partial [/mm] die Funktion [mm] s(\partial) [/mm] maximal wird!. Skizierren sie diesen Winkel als Funktion von [mm] \gamma! [/mm] Bestimmen sie danach den maximalen Wert von [mm] s(\partial) [/mm] und skizierren sie diesen ebenfalls als Funktion vón [mm] \gamma!
[/mm]
Ok um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht mal die Angabe. Hoffe ihr könnt mir ein paar Tipps geben, sonst sehe ich keine Chance dieses Beispiel zu lösen.
mfg Chris
Hätte noch ein Beispiel welches ihr mir vielleicht kurz kontrollieren könnt.
Habbe folgende Wertetabellen:
x f(x)
1 3,03
2 1,84
3 1,12
4 0,68
5 0,41
x f(x)
1 10
2 1.77
3 0,64
4 0,31
5 0,18
hier soll ich durch logarythmischen skallieren der Achsen x bzw y herausfinden um welche Funktion es sich handelt.
Bei der ersten Tabelle handelt es sich um eine exp. funktion weil ich durch diese Werte im Diagramm ( wenn ich y logarytmisiere und x linear lasse ) eine Gerade hinausbekomme. I)st das richtig?
Bei der zweiten Wertetablle habe ich sowohl mit y log und x linear und x log und y linear keine Gerade. Habe erst eine Gerade, wenn ich beide Achsen logarytmisiere.
Heißt das, dass ich dann eine Polynomfunktion habe?
mfg Chris
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Hallo Warlock,
> Wir betrachten die Funktion [mm]s(\partial)[/mm] =
> [mm]\wurzel{1+\gamma*sin(2\partial)+1/2\gamma^{2}*(1-cos(2\partial)}[/mm]
>
> wobei [mm]\gamma \ge0[/mm] eine beliebige , feste Zahl ist.
> Bestimmen Sie, für welchen Winkel [mm]\partial[/mm] die Funktion
> [mm]s(\partial)[/mm] maximal wird!. Skizierren sie diesen Winkel als
> Funktion von [mm]\gamma![/mm] Bestimmen sie danach den maximalen
> Wert von [mm]s(\partial)[/mm] und skizierren sie diesen ebenfalls
> als Funktion vón [mm]\gamma![/mm]
>
> Ok um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht mal die Angabe.
> Hoffe ihr könnt mir ein paar Tipps geben, sonst sehe ich
> keine Chance dieses Beispiel zu lösen.
Also vom Prinzip her dürfte das eigentlich recht einfach sein. Du hast doch eine Funktion gegeben, die von [mm] \partial [/mm] abhängt. Das heißt, wenn du sie zeichnen willst, musst du für [mm] \partial [/mm] irgendwelche Werte einsetzen. Und wenn du dir die gezeichnete Funktion dann anguckst, dann findest du evtl. irgendwo einen Hochpunkt, auch Maximum genannt. Und genau diesen sollst du bestimmen. Und das macht man normalerweise, indem man die Funktion ableitet (das solltest du auf der Schule gelernt haben...). Hier dürftest du als erste wohl die  Kettenregel benötigen.
Wenn du die Ableitung hast, musst du sie =0 setzen, also das [mm] \partial [/mm] bestimmen, für das die Ableitung =0 wird. Und dann brauchst du noch die zweite Ableitung um zu überprüfen, ob es wirklich ein Hochpunkt und nicht vielleicht ein Tiefpunkt oder sonst was ist. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Für [mm]\gamma = 0[/mm] ist die Funktion konstant 1, also uninteressant. Ich setze daher [mm]\gamma > 0[/mm] voraus. [mm]s[/mm] besitzt die Periode [mm]\pi[/mm]. Es genügt daher, ein Intervall dieser Länge zu betrachten:
[mm]s \left( \delta \right) = \sqrt{1 + \gamma \sin{(2 \delta)} + \frac{1}{2} \, \gamma^2 \left( 1 - \cos{(2 \delta)} \right)}[/mm] für [mm]0 \leq \delta \leq \pi[/mm]
Auf dem kompakten Intervall [mm]\left[ 0 , \pi \right][/mm] besitzt die stetige Funktion [mm]s[/mm] ein Maximum. Wegen
[mm]s(0) = s(\pi) = 1 \, , \ \ s \left( \frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{1 + \gamma^2} > 1[/mm]
muß dieses im Innern des Intervalls angenommen werden. Da die äußere Funktion (die Wurzelfunktion) streng monoton wächst, hat man nur die Stelle [mm]\delta[/mm] zu bestimmen, für die die innere Funktion
[mm]f \left( \delta \right) = 1 + \gamma \sin{(2 \delta)} + \frac{1}{2} \, \gamma^2 \left( 1 - \cos{(2 \delta)} \right) \, , \ \ 0 < \delta < \pi[/mm]
maximal wird. Wie Bastiane bereits gesagt hat, läuft das auf Nullsetzen der ersten Ableitung von [mm]f[/mm] hinaus. Die Ableitung besitzt zwei Nullstellen in [mm]\left[ 0 , \pi \right][/mm], nämlich
[mm]\delta = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arctan{\left( \frac{2}{\gamma} \right)}[/mm] und [mm]\delta = \pi - \frac{1}{2} \arctan{\left( \frac{2}{\gamma} \right)}[/mm]
Die linke der beiden Nullstellen liegt im Intervall [mm]0 \leq \delta \leq \frac{\pi}{2}[/mm], die rechte im Intervall [mm]\frac{\pi}{2} \leq \delta \leq \pi[/mm]. Wegen [mm]f'(0) = 2 \gamma > 0[/mm] und [mm]f' \left( \frac{\pi}{2} \right) = -2 \gamma < 0[/mm] hat [mm]f'[/mm] bei der linken Nullstellen einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Dort liegt also das Maximum:
[mm]\delta_{\text{max}} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arctan{\left( \frac{2}{\gamma} \right)}[/mm]
Und das ist zugleich auch die gesuchte Funktion, die [mm]\delta_{\text{max}}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]\gamma[/mm] darstellt.
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