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| Aufgabe | | Welche Funktion wird dargestellt durch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-\bruch{1}{3})^{n+2}*x^{n+1} [/mm] ? |
Hallo,
ich habe die Aufgabe recht zügig gelöst. Das macht misstrauisch. Ist es richtig?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-\bruch{1}{3})^{n+2}*x^{n+1}=(-\bruch{1}{3})\summe_{n=1}^{\infty}(-\bruch{1}{3})^{n+1}*x^{n+1}=(-\bruch{1}{3})\summe_{n=1}^{\infty}(-\bruch{x}{3})^{n+1}
[/mm]
(nun Indextransformation)
[mm] =(-\bruch{1}{3})\summe_{n=2}^{\infty}(-\bruch{x}{3})^{n}
[/mm]
(Konvergent für [mm] |-\bruch{x}{3}|<1)
[/mm]
[mm] =(-\bruch{1}{3})*\bruch{1}{1+\bruch{x}{3}}=\bruch{1}{-3-x}
[/mm]
Gruß, Andreas
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Wäre das nun richtig? Ich habe die Terme für n=0 und n=1 von der Funktion abgezogen:
[mm] \bruch{1}{-3-x}+\bruch{1}{3}-\bruch{x}{9}
[/mm]
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Wäre das nun richtig? Ich habe die Terme für n=0 und n=1
> von der Funktion abgezogen:
>
> [mm]\bruch{1}{-3-x}+\bruch{1}{3}-\bruch{x}{9}[/mm]
>
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß, Andreas
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:28 Di 09.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathe-Andi,
die Aufgabe habe ich zum einen vor kurzem schonmal irgendwo hier im
Forum beantwortet, zum anderen
> Welche Funktion wird dargestellt durch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-\bruch{1}{3})^{n+2}*x^{n+1}[/mm] ?
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe recht zügig gelöst. Das macht
> misstrauisch. Ist es richtig?
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-\bruch{1}{3})^{n+2}*x^{n+1}=(-\bruch{1}{3})\summe_{n=1}^{\infty}(-\bruch{1}{3})^{n+1}*x^{n+1}=(-\bruch{1}{3})\summe_{n=1}^{\infty}(-\bruch{x}{3})^{n+1}[/mm]
>
> (nun Indextransformation)
>
> [mm]=(-\bruch{1}{3})\summe_{n=2}^{\infty}(-\bruch{x}{3})^{n}[/mm]
>
> (Konvergent für [mm]|-\bruch{x}{3}|<1)[/mm]
>
> [mm]=(-\bruch{1}{3})*\bruch{1}{1+\bruch{x}{3}}=\bruch{1}{-3-x}[/mm]
... erinnere Dich mal an das, was ich Dir
hier (klick!)
geschrieben hatte:
> und sie erinnert
> natürlich an die geometrische Reihe
> [mm]\sum_{k=N}^\infty q^k=\sum_{k=0}^\infty q^k -\sum_{k=0}^{N-1}q^k=\frac{1}{1-q}-\frac{1-q^N}{1-q}=\frac{q^N}{1-q}[/mm]
>
> für alle [mm]|q| < 1\,[/mm] und [mm]N \in \IN_0\,.[/mm]
>
> P.S. Alternative Herleitung der letzten Formel:
> [mm]\sum_{k=N}^\infty q^k=q^N*\sum_{k=N}^\infty q^{k-N}=q^N*\sum_{\ell=0}^\infty q^{\ell}=q^N*\frac{1}{1-q}\,.[/mm]
Der Sinn, dass ich solche Herleitungen auch hinschreibe, ist natürlich auch
der, dass Du sie Dir anguckst. Denn die kann man wirklich schnell
verstehen und behalten, und wäre EINE TYPISCHE PRÜFUNGSFRAGE - bei der
ein Prof. sicher nicht länger als zwei Minuten eine Antwort abwarten würde!
(Er würde sogar nach kurzer Zeit schon das [mm] $N\,$ [/mm] spezialisieren, und
wenn er sieht, dass Du das dann immernoch nicht hinbekommst, Dir den
Tipp "ausklammern" geben - und damit wärst Du schon am Rande des
Noch-Bestehens der Prüfung, sofern Du sonst nicht enorm auftrumpfen
kannst! Und ich behaupte das mal, weil ich kein Prof. bin, sondern sogar
sehr gutmütig, und selbst ich das so handhaben würde!)
Gruß,
Marcel
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