Funktion differenzierbar? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Do 14.05.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien [mm] \alpha \in \IR [/mm] und [mm] f_{\alpha} (x)=8(\alpha [/mm] -1) sin(x) für [mm] x\ge [/mm] 0
und [mm] f_{\alpha} (x)=\alpha^2 e^{2x} [/mm] - [mm] 8(\alpha^2-2\alpha) [/mm] -4 für x<0 Man definiert die Mengen:
[mm] A=\{a \in \IR: f_\alpha \mbox{monoton in} [-1,1]}], B=\{\alpha \in \IR: f_\alpha \mbox{stetig}\}, C=\{\alpha \in\IR: f_{\alpha} \mbox{differenzierbar}\}.
[/mm]
Wieviel gilt -inf A + 8 sup C - sup B ? |
Hallo
[mm] A=[1,\infty) \rightarrow [/mm] inf(A)=1, [mm] B=\{2, -2/7\} \rightarrow [/mm] sup(B)=2 sind kein Problem.
Bei C:
Für [mm] x_0=0
[/mm]
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] Nullfolge mit [mm] x_n>0 \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f(x_n)-f(0)}{x_n}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8(\alpha-1)sin(x_n)}{x_n}=8(\alpha-1)
[/mm]
Sei [mm] (y_n)_{n\in\IN} [/mm] Nullfolge mit [mm] y_n<0 \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f(y_n)-f(0)}{y_n}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\alpha^2 e^{2y_n} - 8(\alpha^2-2\alpha)-4}{y_n}
[/mm]
[mm] f_\alpha [/mm] ist differenzierbar in [mm] x_0=0 [/mm] wenn [mm] :\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\alpha^2 e^{2y_n} - 8(\alpha^2-2\alpha)-4}{y_n}=8(\alpha-1)
[/mm]
Wie berechne ich aber den linken Grenzwert? Das bekomme ich nicht hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Do 14.05.2015 | | Autor: | hippias |
Ich habe die Richtigkeit der Mengen $A$ und $B$ nicht nachgerechnet. Du machst es Dir unheimlich schwer, wenn Du ueber die Grenzwertdefinition der Ableitung $C$ bestimmen willst. Im uebrigen ist doch lediglich [mm] $\alpha^2 e^{2x} [/mm] - [mm] 8(\alpha^2-2\alpha)-4$ [/mm] nach $x$ zu differenzieren; das ergibt [mm] $2\alpha^{2}e^{2x}$. [/mm]
Ferner ist eine differenzierbare Funktion erst recht stetig. Daher ist $C$ Teilmenge von $B$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 14.05.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Genau C [mm] \subseteq [/mm] B, also folgt dass [mm] C=\{2\} [/mm] ist oder C leer ist.
Die Funktion ist differenzierbar genau dann wenn der Grenzwert der Ableitung für x<0 gegen f'(0) konvergiert.
[mm] \lim_{x\rightarrow 0} [/mm] 2 [mm] \alpha^2 e^{2x} [/mm] = [mm] 8(\alpha-1)
[/mm]
[mm] \iff [/mm] 2 [mm] \alpha^2 [/mm] = [mm] 8(\alpha-1)
[/mm]
[mm] \iff \alpha^2 [/mm] - [mm] 4\alpha [/mm] + 4=0
[mm] \Rightarrow \alpha=2
[/mm]
Frage:
Hätte man durch die Angabe
[mm] f'_{\alpha} (x)=8(\alpha-1) [/mm] cos(x) für x [mm] \ge [/mm] 0
[mm] f'_{\alpha} [/mm] (x)=2 [mm] \alpha^2 e^{2x} [/mm] für x<0
nicht schon dass [mm] f_{\alpha} [/mm] überall differenzierbar ist wenn ich die Ableitung ja überall angeben kann? Warum genügt das nicht?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Do 14.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Genau C [mm]\subseteq[/mm] B, also folgt dass [mm]C=\{2\}[/mm] ist oder C
> leer ist.
>
> Die Funktion ist differenzierbar genau dann wenn der
> Grenzwert der Ableitung für x<0 gegen f'(0) konvergiert.
> [mm]\lim_{x\rightarrow 0}[/mm] 2 [mm]\alpha^2 e^{2x}[/mm] = [mm]8(\alpha-1)[/mm]
> [mm]\iff[/mm] 2 [mm]\alpha^2[/mm] = [mm]8(\alpha-1)[/mm]
> [mm]\iff \alpha^2[/mm] - [mm]4\alpha[/mm] + 4=0
> [mm]\Rightarrow \alpha=2[/mm]
>
> Frage:
> Hätte man durch die Angabe
> [mm]f'_{\alpha} (x)=8(\alpha-1)[/mm] cos(x) für x [mm]\ge[/mm] 0
> [mm]f'_{\alpha}[/mm] (x)=2 [mm]\alpha^2 e^{2x}[/mm] für x<0
> nicht schon dass [mm]f_{\alpha}[/mm] überall differenzierbar ist
> wenn ich die Ableitung ja überall angeben kann? Warum
> genügt das nicht?
Wende deine "methode" mal auf die betragsfunktion an .........
Fred
>
> LG,
> sissi
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