Funktion durch LGS bestimmen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Sa 24.01.2009 | | Autor: | juel |
| Aufgabe | Der Graph der Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d gehe durch die Punkte
(-1,0) , (0,1) , (1,4) , (2,15). Bestimmen Sie die Funktion. Stellen Sie dazu ein
passendes lineares Gleichungssystem auf und lösen Sie es. |
hallo zusammen
ich weiß nicht genau wie ich hier vorgehen soll. Die Funtion habe ich zunächst so aufgestellt
( a b c d ) * [mm] \vektor{x³ \\ x² \\ x \\ 1} [/mm]
aber das funktionier nicht, da sich die einzelne Punkte in der Aufgabenstellung als eine 2 [mm] \times [/mm] 4 Matrix schreiben lässt, hier kommt aber eine 1 [mm] \times [/mm] 1 Matrix raus.
Muss ich die Matrix vielleicht so umstellen
[mm] \pmat{ a & b & c & d \\ a & b & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
und die andere so [mm] \vektor{x \\ x \\ x \\ 1}
[/mm]
ist meine Denkweise falsch??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nehmen wir uns doch mal den ersten Punkt zB her:
(-1,0)
Jetzt wissen wir, dass f(x=-1)=0 ist.
Nun hast du ja auch dein Polynom [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] gegeben.
Da du ja weist, dass [mm] $f(x=-1)=a\cdot (-1)^3+...=0$ [/mm] gilt, hast du schon eine Gleichung für a,b,c und d aufgestellt. Jetzt das selbe Spielchen mit allen anderen Punkten auch machen. Dann hast du ein schönes linears Gleichungssystem da stehen, was du mit den dir bekannten Verfahren lösen kannst.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Sa 24.01.2009 | | Autor: | juel |
wenn ich das richtig verstanden habe, habe ich das heraus bekommen
[mm] \pmat{ -a & b & -c &d | 0 \\ 0 & 0 & 0 & d | 1 \\ a & b & c & d | 4 \\ 8a & 4b & 2c & d | 15 }
[/mm]
stimmt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 So 25.01.2009 | | Autor: | juel |
kann mir bitte jemand die obige Lösung korregieren?
meine Frage wäre noch, wenn ich nach x auflöse, habe ich ja noch die a,b,c,d Variablen, wie soll ich nach denen auflösen?
In der Aufgabenstellung steht ich muss die Funktion bestimmen.
kann mir bitte jemand Hilfestellung geben.
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Hi, juel,
> wenn ich das richtig verstanden habe, habe ich das heraus
> bekommen
>
> [mm]\pmat{ -a & b & -c &d | 0 \\ 0 & 0 & 0 & d | 1 \\ a & b & c & d | 4 \\ 8a & 4b & 2c & d | 15 }[/mm]
>
> stimmt das?
Nein!
Bedenke bitte: a, b, c und d sind Deine Unbekannten!
Die schreibt man bei der Matrixschreibweise des Gauß-Verfahrens nicht in die Matrix rein!
Daher:
[mm]\pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 | 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 | 4 \\ 8 & 4 & 2 & 1 | 15 }[/mm]
und nun auf üblich Art umformen (wobie Du am besten die zweite Zeile ganz ans Ende schreibst: Aus der ergibt sich ja sowieso sofort, dass d=1 sein muss!
Also: [mm]\pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 | 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 | 4 \\ 8 & 4 & 2 & 1 | 15 \\ 0 & 0 & 0 & 1 | 1}[/mm]
Schaffst Du's nun?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 So 25.01.2009 | | Autor: | juel |
ach ja, okay
dann vesuch ich das jetzt mal zu rechnen
vielen dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 25.01.2009 | | Autor: | juel |
ich hab das jetzt ausgerechnet und habe das hier raus bekommen
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 | 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 | 1 }
[/mm]
kann das sein??
dann würde ich diese Funktion raus bekommen
f(x) = x³ + x² + x +1
oder habe ich wieder was falsch berechnet. :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 So 25.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
> ich hab das jetzt ausgerechnet und habe das hier raus
> bekommen
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 | 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 | 1 }[/mm]
>
>
> kann das sein??
>
> dann würde ich diese Funktion raus bekommen
>
> f(x) = x³ + x² + x +1
>
>
> oder habe ich wieder was falsch berechnet. :-(
Das ist korrekt. Aber du kannst ja auch die Probe machen, und prüfen, ob dioe Bedingungen erfüllt sitnd, was hier der Fall ist.
Also
f(0)=1
f(-1)=0
f(1)=4
f(2)=15
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 So 25.01.2009 | | Autor: | juel |
super
vielen vielen dank
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