Funktion durch eine Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | <br>
[mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar.
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Guten Abend,
wie muss ich vorgehen?
Ich habe leider garkeine Idee.
Für einen Schubs in die Richtige Richtung wäre sehr dankbar.
Gruß Redenwirmaldarüber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 19.06.2013 | | Autor: | fred97 |
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> [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm]
> [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
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> a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar.
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> Guten Abend,
> wie muss ich vorgehen?
> Ich habe leider garkeine Idee.
> Für einen Schubs in die Richtige Richtung wäre sehr
> dankbar.
>
> Gruß Redenwirmaldarüber
>
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Gesucht ist die zu f gehörende Abbildungsmatrix bezgl. der Standardbasis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Sagt Dir das was ?
FRED
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> > [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm]
> > [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
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> > a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar.
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> > Guten Abend,
> > wie muss ich vorgehen?
> > Ich habe leider garkeine Idee.
> > Für einen Schubs in die Richtige Richtung wäre sehr
> > dankbar.
> >
> > Gruß Redenwirmaldarüber
> >
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> Gesucht ist die zu f gehörende Abbildungsmatrix bezgl. der
> Standardbasis des [mm]\IR^3.[/mm]
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> Sagt Dir das was ?
Nein da klingelt es gerade garnicht. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > <br>
> > > [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm]
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> > > [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
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> > > a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar.
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> > >
> > > Guten Abend,
> > > wie muss ich vorgehen?
> > > Ich habe leider garkeine Idee.
> > > Für einen Schubs in die Richtige Richtung wäre sehr
> > > dankbar.
> > >
> > > Gruß Redenwirmaldarüber
> > >
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> > >
> > >
> > Gesucht ist die zu f gehörende Abbildungsmatrix bezgl.
> der
> > Standardbasis des [mm]\IR^3.[/mm]
> >
> > Sagt Dir das was ?
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> Nein da klingelt es gerade garnicht. :(
wenn es nicht klingelt, dann solltest Du Deine Unterlagen durchstöbern.
Und schau' auch mal in meine Antwort!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm]
> [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
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> a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar.
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> Guten Abend,
> wie muss ich vorgehen?
> Ich habe leider garkeine Idee.
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix
Tipp: Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind durch Angabe ihrer
Werte bzgl. einer Basis des Definitionsbereichs bereits eindeutig bestimmt.
Offenbar ist
[mm] $$B:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{1\\1\\0},\;\vektor{1\\1\\1}\right\}$$
[/mm]
eine Basis des Definitionsbereichs [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] (Warum?)
Wenn Du den Definitionsbereich [mm] $\IR^3$ [/mm] bzgl. dieser Basis auffasst, allerdings
den Zielbereich [mm] $\IR^3$ [/mm] bzgl. "der Standardbasis" [mm] $E:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{0\\1\\0},\;\vektor{0\\0\\1}\right\}\,,$ [/mm] so kannst
Du die entsprechende Matrix direkt hinschreiben.
Schreiben wir mal die Basis als Index an den [mm] $\IR^3\,:$
[/mm]
Dann sollst Du die zu [mm] $f\,$ [/mm] zugehörige Matrix angeben, wenn Du
$$f [mm] \colon \IR^3_E \to \IR^3_E$$
[/mm]
auffasst.
Tipp: [mm] $f(\vektor{1\\0\\0})$ [/mm] ist ja schon bekannt. Berechne nun auch noch [mm] $f(\vektor{0\\1\\0})$ [/mm] und [mm] $f(\vektor{0\\0\\1})\,,$
[/mm]
indem Du neben obigen Vorgaben die Linearität von [mm] $f\,$ [/mm] ausnutzt! Was hat
das mit der gesuchten Matrix zu tun?
Gruß,
Marcel
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Danke für die Tipps.
Glaube ich habe es verstanden.
> >
> > [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
> >
> >
> > a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar.
> >
> >
> >
> Tipp: Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind durch
> Angabe ihrer
> Werte bzgl. einer Basis des Definitionsbereichs bereits
> eindeutig bestimmt.
> Offenbar ist
>
> [mm]B:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{1\\1\\0},\;\vektor{1\\1\\1}\right\}[/mm]
> eine Basis des Definitionsbereichs [mm]\IR^3\,.[/mm] (Warum?)
>
> Wenn Du den Definitionsbereich [mm]\IR^3[/mm] bzgl. dieser Basis
> auffasst, allerdings
> den Zielbereich [mm]\IR^3[/mm] bzgl. "der Standardbasis"
> [mm]E:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{0\\1\\0},\;\vektor{0\\0\\1}\right\}\,,[/mm]
> so kannst
> Du die entsprechende Matrix direkt hinschreiben
>
> Schreiben wir mal die Basis als Index an den [mm]\IR^3\,:[/mm]
> Dann sollst Du die zu [mm]f\,[/mm] zugehörige Matrix angeben, wenn
> Du
> [mm]f \colon \IR^3_E \to \IR^3_E[/mm]
> auffasst.
>
> Tipp: [mm]f(\vektor{1\\0\\0})[/mm] ist ja schon bekannt. Berechne
> nun auch noch [mm]f(\vektor{0\\1\\0})[/mm] und
> [mm]f(\vektor{0\\0\\1})\,,[/mm]
> indem Du neben obigen Vorgaben die Linearität von [mm]f\,[/mm]
> ausnutzt! Was hat
> das mit der gesuchten Matrix zu tun?
Wie du geschrieben hast ist [mm]f(\vektor{1\\0\\0})[/mm] bekannt.
Ich nenn es mal b1, also [mm]b_1 = f( \vektor{1 \\ 0 \\ 0}) =^L \vektor{4\\-1\\0} [/mm]
Um [mm]f(\vektor{0\\1\\0})[/mm] zu erreichen rechne ich [mm]f(\vektor{1\\1\\0}) - f(\vektor{1\\0\\0})[/mm]
Dank der Linerität also auch b2 = [mm]\vektor{5\\-1\\4} - \vektor{4\\-1\\0} = \vektor{1\\0\\4}[/mm]
[mm]b_3 = f(\vektor{1\\1\\1}) - f(\vektor{1\\1\\1}) =^L \vektor{7\\2\\4} - \vektor{5\\-1\\4} = \vektor{2\\3\\0}[/mm]
Somit wäre die Matrix [mm]\pmat{ 4&1&2 \\ -1&0&3\\0&4&0 } [/mm]!
Wenn mir jetzt noch einer sagt es stimmt und meine Gedanken dahinter richtig sind, dann bin ich Happy!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Do 20.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Tipps.
> Glaube ich habe es verstanden.
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> > > [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
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> > > a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar.
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> > Tipp: Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind
> durch
> > Angabe ihrer
> > Werte bzgl. einer Basis des Definitionsbereichs bereits
> > eindeutig bestimmt.
> > Offenbar ist
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> [mm]B:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{1\\1\\0},\;\vektor{1\\1\\1}\right\}[/mm]
> > eine Basis des Definitionsbereichs [mm]\IR^3\,.[/mm] (Warum?)
> >
> > Wenn Du den Definitionsbereich [mm]\IR^3[/mm] bzgl. dieser Basis
> > auffasst, allerdings
> > den Zielbereich [mm]\IR^3[/mm] bzgl. "der Standardbasis"
> >
> [mm]E:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{0\\1\\0},\;\vektor{0\\0\\1}\right\}\,,[/mm]
> > so kannst
> > Du die entsprechende Matrix direkt hinschreiben
>
> >
> > Schreiben wir mal die Basis als Index an den [mm]\IR^3\,:[/mm]
> > Dann sollst Du die zu [mm]f\,[/mm] zugehörige Matrix angeben,
> wenn
> > Du
> > [mm]f \colon \IR^3_E \to \IR^3_E[/mm]
> > auffasst.
> >
> > Tipp: [mm]f(\vektor{1\\0\\0})[/mm] ist ja schon bekannt.
> Berechne
> > nun auch noch [mm]f(\vektor{0\\1\\0})[/mm] und
> > [mm]f(\vektor{0\\0\\1})\,,[/mm]
> > indem Du neben obigen Vorgaben die Linearität von [mm]f\,[/mm]
> > ausnutzt! Was hat
> > das mit der gesuchten Matrix zu tun?
>
>
> Wie du geschrieben hast ist [mm]f(\vektor{1\\0\\0})[/mm] bekannt.
> Ich nenn es mal b1, also [mm]b_1 = f( \vektor{1 \\ 0 \\ 0}) =^L \vektor{4\\-1\\0}[/mm]
eine sehr eigene Notation, aber okay: Rechts haben wir die erste Spalte
der Matrix stehen, die zu obiger Funktion [mm] $f\,$ [/mm] (bzgl. der Standardbasis)
gehört.
>
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> Um [mm]f(\vektor{0\\1\\0})[/mm] zu erreichen rechne
> ich [mm]f(\vektor{1\\1\\0}) - f(\vektor{1\\0\\0})[/mm]
Genau: Allgemein würdest Du erst eine Linearkombination [mm] $r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{1\\1\\0}+t*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{0\\1\\0}$
[/mm]
aufstellen und dort [mm] $r,s,t\,$ [/mm] berechnen und damit weiterarbeiten. Natürlich
wird dann [mm] $r=-1\,,$ $s=1\,$ [/mm] und [mm] $t=0\,$ [/mm] rauskommen.
> Dank der Linerität also auch b2 = [mm]\vektor{5\\-1\\4} - \vektor{4\\-1\\0} = \vektor{1\\0\\4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> [mm]b_3 = f(\vektor{1\\1\\1}) - f(\vektor{1\\1\\\red{1}}) [/mm]
Da hast Du Dich vertippt und meinst anstatt [mm] $\red{\;1\;}$ [/mm] einfach 0.
> [mm]=^L \vektor{7\\2\\4} - \vektor{5\\-1\\4} = \vektor{2\\3\\0}[/mm]
>
> Somit wäre die Matrix [mm]\pmat{ 4&1&2 \\ -1&0&3\\0&4&0 } [/mm]!
>
> Wenn mir jetzt noch einer sagt es stimmt und meine Gedanken
> dahinter richtig sind, dann bin ich Happy!
Das sieht doch sehr gut aus.
Du kannst es aber auch nochmal selbst testen:
Berechne mal
(1.) [mm] $\pmat{ 4&1&2 \\ -1&0&3\\0&4&0 }*\vektor{1\\0\\0}\,,$ [/mm]
(2.) [mm] $\pmat{ 4&1&2 \\ -1&0&3\\0&4&0 }*\vektor{1\\1\\0}\,,$ [/mm]
(3.) [mm] $\pmat{ 4&1&2 \\ -1&0&3\\0&4&0 }*\vektor{1\\1\\1}\,.$ [/mm]
Du weißt doch, was jeweils rauskommen soll!
(Das wäre übrigens auch ein möglicher Ansatz gewesen, um die $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix
konkret auszurechnen - quasi mehr "Holzhammermethodenmäßig"!)
Fazit: Alles richtig gemacht! 
Gruß,
Marcel
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