Funktion durch ganze Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:20 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Lybius |
| Aufgabe | | f(x) = 851 floor(x / 100) + 41 floor((x - 100 floor(x / 100)) / 10) + 50 floor(x / 100)² + 10 floor((x - 100 floor(x / 100)) / 10) floor(x / 100) + 5 floor((x - 100 floor(x / 100)) / 10)² + 10 (x / 10 - floor(x / 10)) floor(x / 100) + floor((x - 100 floor(x / 100)) / 10) 10 (x / 10 - floor(x / 10)) + (10 (x / 10 - floor(x / 10)) + (10 (x / 10 - floor(x / 10)))²) / 2 |
Hallo,
ich habe ein Problem, bei dem ich leider an meine Grenzen stoße.
Es handelt sich dabei nicht um eine besondere Aufgabenstellung, oder um Stoff dieses Jahres, aber wir hatten Latein und mir war langweilig, also hab ich versucht einen Ansatz zu finden, um die Quersummen aller Seitenzahlen eines Buches zusammenzuzählen.
Herausgekommen ist dabei eine lange Funktion, mit vielen Modulodivisionen oder alt. floor Operationen.
Der Graph verläuft sprunghaft, doch die Funktion sollte natürlich nur für natürliche Zahlen von 0 bis 999 definiert sein,
deshalb dachte ich mir, man könnte die ModDiv aus der Formel eliminieren, indem man eine Funktion findet, die genau durch diese Punkte geht.
Also im Prinzip eine Funktion aus der Folge einer Funktion.
Ich hab das Gefühl ich bin im falschen Forum, aber das hier ist ja auch eins von der ganz umständlichen Sorte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Di 28.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> f(x) = 851 floor(x / 100) + 41 floor((x - 100 floor(x /
> 100)) / 10) + 50 floor(x / 100)² + 10 floor((x - 100
> floor(x / 100)) / 10) floor(x / 100) + 5 floor((x - 100
> floor(x / 100)) / 10)² + 10 (x / 10 - floor(x / 10))
> floor(x / 100) + floor((x - 100 floor(x / 100)) / 10) 10 (x
> / 10 - floor(x / 10)) + (10 (x / 10 - floor(x / 10)) + (10
> (x / 10 - floor(x / 10)))²) / 2
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> Hallo,
> ich habe ein Problem, bei dem ich leider an meine Grenzen
> stoße.
>
> Es handelt sich dabei nicht um eine besondere
> Aufgabenstellung, oder um Stoff dieses Jahres, aber wir
> hatten Latein und mir war langweilig, also hab ich versucht
> einen Ansatz zu finden, um die Quersummen aller
> Seitenzahlen eines Buches zusammenzuzählen.
Um das etwas mathematischer auszudruecken: Du willst also zu $x [mm] \in \{ 1, \dots, 999 \}$ [/mm] die Summe [mm] $\sum_{n=1}^x [/mm] qs(n)$ berechnen, wobei $qs(n)$ die Quersumme der natuerlichen Zahl $n$ ist?
> Herausgekommen ist dabei eine lange Funktion, mit vielen
> Modulodivisionen oder alt. floor Operationen.
> Der Graph verläuft sprunghaft, doch die Funktion sollte
> natürlich nur für natürliche Zahlen von 0 bis 999
> definiert sein,
> deshalb dachte ich mir, man könnte die ModDiv aus der
> Formel eliminieren, indem man eine Funktion findet, die
> genau durch diese Punkte geht.
> Also im Prinzip eine Funktion aus der Folge einer
> Funktion.
Du kannst ein Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 1000$ finden, welches genau deine Funktion beschreibt an den gegebenen Werten (naemlich $0, 1, 2, [mm] \dots, [/mm] 999$). Aber das willst du wohl nicht wirklich 
Ich werd jetzt erstmal fuer mich die Funktion herleiten. Dazu verwende ich folgende Notation: zu $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei $n = [mm] \sum_{i=0}^\infty n_i 10^i$ [/mm] mit [mm] $n_i \in \{ 0, \dots, 9 \}$; [/mm] die [mm] $n_i$ [/mm] sind eindeutig bestimmt. Damit ist $qs(n) = [mm] \sum_{i=0}^\infty n_i$. [/mm] (In deinem Fall kannst du [mm] $\infty$ [/mm] durch 2 ersetzen, da du jede Zahl zwischen 0 und 999 eindeutig als [mm] $n_0 [/mm] + 10 [mm] n_1 [/mm] + 100 [mm] n_2$ [/mm] schreiben kannst mit den Dezimalziffern [mm] $n_0, n_1, n_2$ [/mm] .)
Es ist also $f(x) = [mm] \sum_{n=1}^x [/mm] qs(n) = [mm] \sum_{n=1}^x \sum_{i=0}^\infty n_i [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^\infty \sum_{n=1}^x n_i$. [/mm] Es macht also Sinn, die Ausdruecke der Form $f(x, i) := [mm] \sum_{n=1}^x n_i$ [/mm] zu untersuchen.
Erstmal ist dazu praktisch zu wissen, dass $s(x) := [mm] \sum_{k=0}^x [/mm] k = [mm] \frac{x (x + 1)}{2}$ [/mm] ist (das geht angeblich auf Gauss zurueck).
Fuer $i = 0$ nimmt [mm] $n_i$ [/mm] periodisch die Werte $0, 1, 2, [mm] \dots, [/mm] 8, 9, 0, 1, 2, [mm] \dots, [/mm] 9, 0, [mm] \dots$ [/mm] an. Der Wert von $f(x, 0)$ ist also [mm] $\left\lfloor \frac{x}{10} \right\rfloor \cdot [/mm] s(9) + s(x [mm] \mod [/mm] 10)$. Oder anders gesagt (mit der obigen Notation): $f(x, 0) = [mm] s(x_0) [/mm] + s(9) [mm] \sum_{i=0}^\infty x_{i+1} 10^i$.
[/mm]
Fuer $i = 1$ nimmt [mm] $n_i$ [/mm] erst 10-mal den Wert 0, dann 10-mal den Wert 1, ..., dann 10-mal den Wert 9, dann wieder 10-mal den Wert 0 etc. an. Der Wert von $f(x, 1)$ ist also [mm] $\left\lfloor \frac{x}{100} \right\rfloor \cdot [/mm] 10 s(9) + 10 [mm] s(x_1 [/mm] - 1) + [mm] (x_0 [/mm] + 1) [mm] x_1$. [/mm] Oder anders gesagt: $f(x, 1) = [mm] (x_0 [/mm] + 1) [mm] x_1 [/mm] + 10 [mm] s(x_1 [/mm] - 1) + 10 s(9) [mm] \sum_{i=0}^\infty x_{i+2} 10^i$.
[/mm]
Fuer $i = 2$ nimmt [mm] $n_i$ [/mm] erst 100-mal den Wert 0 an, dann 100-mal den Wert 1, ... Der Wert von $f(x, 2)$ ist also [mm] $\left\lfloor \frac{x}{1000} \right\rfloor \cdot [/mm] 100 s(9)$ + 100 [mm] s(x_2 [/mm] - 1) + (10 [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_0 [/mm] + 1) [mm] x_2$. [/mm] Oder anders gesagt: $f(x, 1) = (10 [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_0 [/mm] + 1) [mm] x_2 [/mm] + 100 [mm] s(x_2 [/mm] - 1) + 100 s(9) [mm] \sum_{i=0}^\infty x_{i+3} 10^i$.
[/mm]
Fuer allgemeines $i$ gilt $f(x, i) = [mm] \left\lfloor \frac{x}{10^{i+1}} \right\rfloor 10^i [/mm] s(9) + [mm] 10^i s(x_i [/mm] - 1) + [mm] x_i \left( \sum_{j=0}^{i-1} x_i 10^i + 1 \right) [/mm] = [mm] \sum_{j=i+1}^\infty x_j 10^{j-1} [/mm] s(9) + [mm] 10^i s(x_i [/mm] - 1) + [mm] x_i \left( \sum_{j=0}^{i-1} x_i 10^i + 1 \right) [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^\infty x_{j+i+1} 10^{j+i} [/mm] s(9) + [mm] 10^i s(x_i [/mm] - 1) + [mm] x_i \left( \sum_{j=0}^{i-1} x_i 10^i + 1 \right)$, [/mm] und man erhaelt $f(x) = [mm] \sum_{i=0}^\infty \left( \sum_{j=i+1}^\infty x_j 10^{j-1} s(9) + 10^i s(x_i - 1) + \sum_{j=0}^{i-1} x_j 10^j x_i + x_i \right) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=i+1}^\infty x_j 10^{j-1} [/mm] s(9) + [mm] \sum_{i=0}^\infty 10^i s(x_i [/mm] - 1) + [mm] \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^{i-1} x_j 10^j x_i [/mm] + [mm] \sum_{i=0}^\infty x_i$.
[/mm]
Die auftretenden (Doppel-)Summen im Ergebnis kann man noch etwas weiter umformen, aber wirklich schoen wird das nicht. Ich lass das ganze mal stehen, falls sich jemand dafuer interessiert
Zur eigentlichen Frage: ich denke, dass man nicht ohne Modulo bzw. ganzzahlige Division (mit Rest wegwerfen) bzw. Floor-Funktion auskommt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Lybius |
vielen Dank Felix für deine Bemühungen,
da werd ich noch etwas Zeit brauchen, um das durchzuarbeiten. Nun sind ja zum Glück Ferien. Aber es ist eigentlich ganz logisch.
Danke matheforum.net
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:59 Di 04.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]f(x) = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=i+1}^\infty x_j 10^{j-1} s(9) + \sum_{i=0}^\infty 10^i s(x_i - 1) + \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^{i-1} x_j 10^j x_i + \sum_{i=0}^\infty x_i[/mm]
Es ist [mm] $\sum_{i=0}^\infty \sum_{j=i+1}^\infty x_j 10^{j-1} [/mm] s(9) = [mm] \sum_{0 \le i < j} x_j 10^{j-1} [/mm] s(9) = [mm] \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=0}^{j-1} x_j 10^{j-1} [/mm] s(9) = [mm] \sum_{j=1}^\infty [/mm] j [mm] x_j 10^{j-1} [/mm] s(9) = [mm] \sum_{i=1}^\infty [/mm] i [mm] x_i 10^{i-1} [/mm] s(9) = [mm] \sum_{i=0}^\infty [/mm] i [mm] x_i 10^{i-1} [/mm] s(9)$ und [mm] $\sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^{i-1} x_j 10^j x_i [/mm] = [mm] \sum_{0 \le j < i} x_i x_j 10^j [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^\infty \sum_{i=j+1}^\infty x_i x_j 10^j [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=i+1}^\infty x_i x_j 10^i$.
[/mm]
Damit gilt [mm]f(x) = \sum_{i=0}^\infty i x_i 10^{i-1} s(9) + \sum_{i=0}^\infty 10^i \cdot \frac{1}{2} (x_i^2 - x_i) + \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=i+1}^\infty x_i x_j 10^i + \sum_{i=0}^\infty x_i = \sum_{i=0}^\infty [ 1 + 10^{i-1} \cdot 45 i - 10^i \cdot \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} 10^i x_i + 10^i \sum_{j=i+1}^\infty x_j] x_i[/mm].
Wenn man nun [mm] $x_3 [/mm] = [mm] x_4 [/mm] = [mm] \dots [/mm] = 0$ setzt, also $x < 1000$, dann vereinfacht sich das zu $f(x) = [mm] (\tfrac{1}{2} [/mm] + [mm] \tfrac{1}{2} x_0 [/mm] + [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2) x_0 [/mm] + (41 + 5 [mm] x_1 [/mm] + 10 [mm] x_2) x_1 [/mm] + (851 + 50 [mm] x_2) x_2$.
[/mm]
LG Felix
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