Funktion eine Distribution < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ist diese Funktion eine Distribution?
[mm] =\summe_{k=0}^{n} f^{(k)}(k)
[/mm]
f [mm] \in C_0^{\infty}(R) [/mm] und n [mm] \in [/mm] N |
Mein Problem ist, dass ich bis jetzt noch fast gar nichts mit Distributionen zu tun hatte und ich ziemlich Ideen los bin!
Ich bin mir derzeit überhaupt nicht sicher welche Eigenschaften die Funktionen erfüllen müssen:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} ||\partial^{\alpha}f_{k}||_{\infty}=0
[/mm]
wobei [mm] f_{k} [/mm] eine Folge ist.
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} T(f_{k})=0
[/mm]
T ist ein lineares Funktional
Sind das in groben Zügen die zwei Aussagen, dich ich überprüfen muss?!
Ich hoffe ich bin da nicht auf dem komplett falschen Weg!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Mathe_graz,
ich schreibe dir nur eine Mitteilung, dann können sich das auch noch mal andere ankucken, die mehr Ahnung von Distributionen haben, als ich. Die Aufgabe kam mir aber bekannt vor, in unserer Vorlesung wird folgender Satz angeführt, um zu zeigen, dass dies eine Distribution ist, vielleicht habt ihr den Satz ja auch gehabt [mm] (\mathcal{D}(\Omega) [/mm] ist der Raum der Testfunktionen auf [mm] \Omega):
[/mm]
Sei [mm] T:\mathcal{D}(\Omega)\to \IR [/mm] ein lineares Funktional.
T ist genau dann eine Distribution, wenn es zu jedem Kompaktum [mm] K\subset\Omega [/mm] Konstanten c>0 und [mm] N\in\IN_0 [/mm] gibt, mit
[mm] $||\le c*max_{|\alpha|\le N}sup_{x\in K}|D^\alpha [/mm] f(x)|$ für alle [mm] f\in\mathcal{D}(\Omega) [/mm] mit supp [mm] f\subset [/mm] K.
Die Linearität deines Funktionals ist klar und für grosse k liegt k nicht mehr im Träger von f, dann hat man eine endliche Summe,dann müsste die Abschätzung auch zu machen sein.
Bringt natürlich nur was, wenn ihr den Satz hattet.
Edit:
Ich habe mir grade nochmal die zwei Eigenschaften angeschaut, die du hingeschrieben hast und bin mir nicht sicher, ob du das Richtige meinst, deswegen zum Abgleich, meine Definition aus der Vorlesung:
Ein lineares Funktional [mm] T:\mathcal{D}(\Omega)\to \IR [/mm] heisst Distribution, wenn gilt:
[mm] \to [/mm] 0 für alle Nullfolgen [mm] (f_k)_{k\in\IN} \subset \mathcal{D}(\Omega).
[/mm]
Wobei [mm] (f_k)_k [/mm] Nullfolge im Sinne der Konvergenz in [mm] \mathcal{D}(\Omega) [/mm] zu verstehen ist, d.h. [mm] f_k\to0 \gdw [/mm] es gibt ein Kompaktum [mm] K\subset\Omega [/mm] mit supp [mm] f_k\subset [/mm] K und [mm] \limes_{k\to\infty}sup_{x\in K}|D^\alpha f_k|=0.
[/mm]
Dh. wenn du das nachrechnen wolltest, müsstest du für ein beliebiges [mm] f_j\to0 (\mathcal{D} (\Omega)-Konvergenz) [/mm] zeigen
[mm] =\summe_{k=0}^{n}f_j^{(k)}(k)\to0, n\in\IN
[/mm]
und natürlich u ist linear, aber das ist der leichte Teil.
LG walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Fr 19.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ist diese Funktion eine Distribution?
> [mm]=\summe_{k=0}^{n} f^{(k)}(k)[/mm]
> f [mm]\in C_0^{\infty}(R)[/mm]
> und n [mm]\in[/mm] N
> Mein Problem ist, dass ich bis jetzt noch fast gar nichts
> mit Distributionen zu tun hatte und ich ziemlich Ideen los
> bin!
> Ich bin mir derzeit überhaupt nicht sicher welche
> Eigenschaften die Funktionen erfüllen müssen:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} ||\partial^{\alpha}f_{k}||_{\infty}=0[/mm]
>
> wobei [mm]f_{k}[/mm] eine Folge ist.
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} T(f_{k})=0[/mm]
Da verstehe ich nicht, was du sagen willst.
> T ist ein lineares Funktional
Richtig. Das ist für u sicher der Fall.
Tipp: In der Definition steht eine endliche Summe (von n+1 Elementen). Das heisst, u ist eine Distribution, wenn jeder Summand eine Distribution ist. Stelle jeden dieser Summanden als Ableitung der [mm] $\delta$-Distribution [/mm] dar.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Vorne weg mal Danke für die langen Antworten!!!
Also ich habe jetzt deinen Tipp verfolgt und alles in Delta-Distributionen um geschrieben.
allgemeine definition:
[mm] <\delta^{(n)}_{0},f>=(-1)^{n}f^{(n)}(0)
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}<\delta^{(k)}_{k},f>
[/mm]
Damit wäre ich dann schon fertig?! Leider bin ich mir immer noch nicht ganz im Klaren wie ich mit den Distributionen umgehen soll!
was würde sich ändern für:
für f(0):
[mm] =\summe_{k=0}^{n} f^{(k)}(0)
[/mm]
summe gegen unendlich:
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty} f^{(k)}(k)
[/mm]
wenn mir da noch jemand tipps geben könnte dann verstehe ich vll genauer über welche kriterien das ganze zusammenhängt!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Sa 20.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vorne weg mal Danke für die langen Antworten!!!
>
> Also ich habe jetzt deinen Tipp verfolgt und alles in
> Delta-Distributionen um geschrieben.
> allgemeine definition:
> [mm]<\delta^{(n)}_{0},f>=(-1)^{n}f^{(n)}(0)[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}<\delta^{(k)}_{k},f>[/mm]
>
> Damit wäre ich dann schon fertig?! Leider bin ich mir
> immer noch nicht ganz im Klaren wie ich mit den
> Distributionen umgehen soll!
Ja, du bist fertig, denn eine Linearkombination von Distributionen, was u offensichtlich ist, ist eine Distribution.
> was würde sich ändern für:
> für f(0):
> [mm]=\summe_{k=0}^{n} f^{(k)}(0)[/mm]
Da steht dann [mm] $\delta^{(k)}_{0}$ [/mm] statt [mm] $\delta^{(k)}_{k}$ [/mm] .
> summe gegen unendlich:
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty} f^{(k)}(k)[/mm]
Das ist ein bischen schwieriger, weil eine unendliche Reihe von Distributionen nicht automatisch konvergieren muss.
Ist f eine Testfunktion mit kompaktem Träger, so sind ab irgendeinem k alle Summanden 0.
Wenn f eine schnell fallende Funktion (Schwartzfunktion) ist, ist für alle [mm] $k,\alpha\in \IN_0$:
[/mm]
[mm]\sup |x^k f^{(\alpha)} (x) | \le C [/mm] für ein $C> 0$.
Damit müsstest du die Konvergenz zeigen können.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
laut angabe ist ja f [mm] \in C^{\infty}_{0} [/mm] damit hat es einen komapkten träger, da ich aber immer an der stelle 0 auswerte bringt mir das nichts.
mehr informationen habe ich nicht deshalb kann ich nicht mit sicherheit sagen ob es eine distribution ist.
die aufgabenstellung ist auch so, dass nicht alle funktionen distributionen sind!
der letzte fall ist jetzt:
[mm] =\summe_{k=0}^{n} |f^{(k)}(0)|^{2}
[/mm]
in dem fall kann ich das ganze wieder in deltas umschreiben. das quadrat ändert ja eigentlich nichts oder?!
ahja und was ich dich noch fragen wollte: Dass die summe von distributionen wieder eine distribution ist, hat dieser satz einen bestimmten namen?!
DANKE für deine konkrete Hilfe!
lg
Michael
|
|
|
| |
|
das hab ich erst jetzt gesehen. habe das letzte mal vom account einer meiner mitstudenten geschrieben!
sorry! immer diese pc wechsel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
