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| Aufgabe | Folgende Funktion ist zu entwickeln:
$ f(x) = [mm] x^3 [/mm] - 3x $ nach Potenzen von $ (x-1) $ |
Hallo!
Ich habe mich schonmal über die Taylor-Reihe schlau gemacht und den Sinus angenähert (so wie es auch der Taschenrechner macht.)
Aber bei dieser Aufgabe weiß ich nicht weiter. Von einer Taylor-Reihe steht auch nicht explizit etwas dabei. Kann mir jemand helfen?
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Hallo,
ich denke, du sollst die Funktion [mm] f(x)=x^3-3x [/mm] um [mm] x_0=1 [/mm] in eine Taylorreihe entwickeln:
[mm] T(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}\cdot{}(x-1)^k
[/mm]
Da fällt dann so einiges weg und am Schluß bekommst du eine Darstellung von f in Potenzen von (x-1)
Gruß
schachuzipus
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Hallo und danke für deine Antwort. Bei der von mir geschriebenen Funktion ist mir aufgefallen, dass die Taylorentwicklung sehr einfach ist, weil alle ab der dritten Ableitung alle Ableitungen Null sind und sich somit eine schöne Summe von Potenzen ergibt.
Aber was mache ich dann bei der Taylorentwicklung von 1/x oder bei einer e-Funktion? Hier werden die Ableitungen ja nie Null?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 10.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alle Polynome haben abbrechende Taylorreihen.
Alle anderen fkt. unendliche! Aber meistens haben die Ableitungen ne einfache Regel. bei [mm] e^x [/mm] sind alle ablietungen gleich! bei 1/x kannst du sicher auch die n-te Ableitung hinschreiben, wenn du die ersten 2 oder 3 hast. ebenso bei lnx, sinx, cosx usw.
Gruss leduart
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Danke für die Hilfe, das Beispiel konnte ich lösen, nur habe ich bei folgenden Aufgaben Probleme:
1) $ [mm] e^{(x/a)} [/mm] $ nach Potenzen von (x-a); [mm] a\in\IR
[/mm]
Hier könnte ich ja die Taylorreihe von [mm] e^{x} [/mm] hernehmen und x durch x/a substituieren, aber das sind dann ja keine Potenzen von (x-a).
2) Taylorreihenentwicklung $ [mm] e^{(\sin(x))} [/mm] $ um den Nullpunkt
Hier weiß ich echt nicht weiter, zumal die Ableitung immer größer wird...
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Nun, benutze doch erstmal die gegebene Formel.
Hiermit ergibt sich für die Ableitungen:
[mm] $f(x)=e^{x/a}$
[/mm]
[mm] $f'(x)=1/a*e^{x/a}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=1/a^2*e^{x/a}$
[/mm]
[mm] $f'''(x)=1/a^3*e^{x/a}$
[/mm]
...
Und nun mußt du x=a einsetzen, das gibt dir schonmal die Koeffizienten:
$f(a)=e$
$f'(a)=e/a$
[mm] $f''(a)=e/a^2$
[/mm]
...
Du siehst, es gibt eine ganz einfache Gesetzmäßigkeit dafür. Nun, das mußt du nun noch in die Formel einbauen, und bist fertig.
Natürlich kann man sich auch aus bekannten Reihen etwas zusammenbasteln, aber bei dieser Aufgabe gehts so schneller.
Eher kannst du das bei der zweiten Aufgabe anwenden. Die Reihe von sin und exp ist bekannt, hier kannst du einfach die sin-Reihe in die exp-Reihe einsetzen. So bekommst du zwar keine einfache Formel, in der die Potenzen in steigender Reihenfolge aufgelistest werden, aber es funktioniert.
Alternativ kannst du auch die ersten Glieder, wie du es gemacht hast, per Hand ausrechnen, das gibt sowas hier:
[mm] $e^{\sin (x)}=\allowbreak 1+x+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{8}x^{4}-\frac{1}{15}x^{5}-\frac{1}{240}x^{6}+\frac{1}{90}x^{7}+\frac{31}{5760}\allowbreakx^{8}+O\left( x^{9}\right)$
[/mm]
Allerdings wirst du da kaum eine Gesetzmäßigkeit finden.
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Hallo und danke für Anwort. Das erste Beispiel ist jetzt klar, das zweite soweit auch, zumindest die händige Berechnung bis z.B. 4.Glied - aber so aus Interesse: Wie soll das mit dem Einsetzen funktionieren?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 17.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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