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Funktion finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Sa 12.04.2014
Autor: Spitzname786779

Aufgabe
-

Ich suche f:R_+ [mm] \to [/mm] [0,1] mit

f(x) / f(y) = (y+2) / (x+2)

Weiss nicht wie man das loesen soll, obwohl es so einfach aussieht.

Als Randbedinungen habe ich nur Bild(f) = [0,1]

Wie geht das? Kommt aus einem privaten Problem, daher keine Aufgabenstellung und auck kA was fuer ein Typ von Problem das ist.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Funktion finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:31 Sa 12.04.2014
Autor: Sax

Hi,

du wirst die Voraussetzungen abschwächen müssen.

Wenn  f(x) / f(y) = (y+2) / (x+2)  für alle [mm] x,y\in\IR^+ [/mm]  gelten soll und außerdem 0 im Bildbereich von f liegen soll, dann gibt es ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f(x_0)=0. [/mm]

Dann wird weiter [mm] \bruch{f(x_0)}{f(y)}=0=\bruch{y+2}{x_0+2}. [/mm]
Da aber y=-2 nicht im Definitionsbereich von f liegt, sehe ich schwarz.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Funktion finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 Sa 12.04.2014
Autor: Spitzname786779

Ah ja, sehr gut bemerkt.

Bild ist auch genauer (0,1], f(x) = 0 sollte erst im limit x [mm] \to \inf [/mm] errreicht werden

Bezug
        
Bezug
Funktion finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Sa 12.04.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> -
>  Ich suche f:R_+ [mm]\to[/mm] [0,1] mit
>  
> f(x) / f(y) = (y+2) / (x+2)
>  
> Weiss nicht wie man das loesen soll, obwohl es so einfach
> aussieht.
>  
> Als Randbedinungen habe ich nur Bild(f) = [0,1]
>  
> Wie geht das? Kommt aus einem privaten Problem, daher keine
> Aufgabenstellung und auck kA was fuer ein Typ von Problem
> das ist.



Hallo und

          [willkommenmr]

probier's doch mal mit    $\ f(x)\ =\ [mm] \frac{786779}{x+2}$ [/mm]   !

Und dann kannst du versuchen, den Zähler so anzupassen,
dass die Werte auch in den vorgegebenen Zielbereich zu
liegen kommen ...    ;-)

LG

Al-Chwarizmi




Bezug
                
Bezug
Funktion finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:42 Sa 12.04.2014
Autor: Spitzname786779

Yo so einfach ist das wohl. Danke dir! Kann man hier Karma geben oder sowas?

Bezug
        
Bezug
Funktion finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:16 So 13.04.2014
Autor: fred97

Eine Funktion f: [mm] \IR^+ \to \IR [/mm] mit

  f(x)(x+2)=f(y)(y+2)  für alle x,y >0

und

Bild(f)=(0,1]


gibt es nicht !

Annahme: es gibt eine solche Funktion. Mit y=1 folgt

    f(x)(x+2)=3f(1)

f ist also von der Form

    [mm] f(x)=\bruch{a}{x+2} [/mm]  mit a [mm] \ne [/mm] 0.

Es muss a>0 sein (anderenfalls wäre Bild(f) [mm] \subseteq [/mm] ( - [mm] \infty,0)). [/mm]

Dann ist f streng fallend. Wegen 1 [mm] \in [/mm] Bild(f), gibt es ein [mm] x_0>0 [/mm] mit [mm] f(x_0)=1. [/mm]

Ist nun 0<z< [mm] x_0, [/mm] so ist

     [mm] f(z)>f(x_0)=1. [/mm]

Das ist aber ein Widerspruch zu Bild(f)=(0,1].

FRED

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Bezug
Funktion finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:31 Mo 14.04.2014
Autor: fred97

Noch eine Bemerkung:

ist  $f: [mm] \IR^+ \to \IR [/mm] $ eine Funktion mit

  f(x)(x+2)=f(y)(y+2)  für alle x,y >0,

so haben wir gesehen, dass f von der Form $ [mm] f(x)=\bruch{a}{x+2} [/mm] $ ist.

Fall 1: a=0. Dann ist [mm] Bild(f)=\{0\}. [/mm]

Fall 2: a>0. Dann ist Bild(f)=(0, [mm] \bruch{a}{2}) [/mm]

Fall 3: a<0. Dann ist [mm] Bild(f)=(\bruch{a}{2}, [/mm] 0).

Bild(f) ist also niemals ein halboffenes Intervall.

FRED




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