Funktion hat Fixpunkt beweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei
[mm] $f(x):=1-\sqrt{\frac{e^{(x^{2})}-1}{e-x}}$
[/mm]
eine reelle Funktion [mm] $f:[0,1]\to[0,1]$. [/mm] Man zeige, dass diese Funktion mindestens einen Fixpunkt hat.
Hinweis: Beachte: Die Wurzelfunktion ist monoton. |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe bin ich etwas verwirrt.
f ist doch als Komposition stetiger Funktionen wieder stetig.
Außerdem ist der Bildbereich [0,1] Teilmenge des Definitionsbereichs [0,1]. Wieso kann ich nun nicht einfach den Fixpunktsatz über stetige Funktionen anwenden?
Fixpunktsatz: Eine stetige Funktion [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] mit Bildbereich [mm] $B\subset[a,b]$ [/mm] besitzt einen Fixpunkt, d.h. ein [mm] $x_{0}\in[a,b]$ [/mm] mit [mm] $f(x_{0}) [/mm] = [mm] x_{0}$.
[/mm]
Wieso wird mir als Hinweis gegeben, dass die Wurzel monoton ist, wozu brauche ich das?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:35 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei
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> [mm]f(x):=1-\sqrt{\frac{e^{(x^{2})}-1}{e-x}}[/mm]
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> eine reelle Funktion [mm]f:[0,1]\to[0,1][/mm]. Man zeige, dass diese
> Funktion mindestens einen Fixpunkt hat.
>
> Hinweis: Beachte: Die Wurzelfunktion ist monoton.
> Hallo!
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> Bei obiger Aufgabe bin ich etwas verwirrt.
>
> f ist doch als Komposition stetiger Funktionen wieder
> stetig.
> Außerdem ist der Bildbereich [0,1] Teilmenge des
> Definitionsbereichs [0,1]. Wieso kann ich nun nicht einfach
> den Fixpunktsatz über stetige Funktionen anwenden?
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> Fixpunktsatz: Eine stetige Funktion [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] mit
> Bildbereich [mm]B\subset[a,b][/mm] besitzt einen Fixpunkt, d.h. ein
> [mm]x_{0}\in[a,b][/mm] mit [mm]f(x_{0}) = x_{0}[/mm].
Wenn Ihr diesen Satz hattet, so kannst Du ihn anwenden !
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> Wieso wird mir als Hinweis gegeben, dass die Wurzel monoton
> ist, wozu brauche ich das?
Frag den Aufgabensteller
FRED
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> Vielen Dank für Eure Hilfe,
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
auch hier danke, dass du dich meiner Frage gewidmet hast!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:18 Do 10.12.2009 | | Autor: | asiafire |
Hallo Stefan,
aus welchen Funktionen ist f eigentlich komponiert?
Viele Grüße.
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Hallo asiafire,
f ist komponiert aus:
[mm] $f_{1}(x) [/mm] = 1-x$
[mm] $f_{2}(x) [/mm] = [mm] \sqrt(x)$
[/mm]
und innerhalb der Wurzel ist nun ein Quotient, der ebenfalls stetig ist, weil Zähler- und Nennerfunktion stetig sind:
Zähler komponiert aus:
[mm] $f_{3}(x) [/mm] = x-1$
[mm] $f_{4}(x) [/mm] = [mm] e^{x}$
[/mm]
[mm] $f_{5}(x) [/mm] = [mm] x^{2}$
[/mm]
Nenner:
[mm] $f_{6}(x) [/mm] = [mm] e-x\not= [/mm] 0$, da [mm] $x\in[0,1]$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Do 10.12.2009 | | Autor: | asiafire |
Vielen Dank für die tolle Erklärung, das hat mir sehr weiter geholfen! :)
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