Funktion in 2 Var. Maximum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Di 16.02.2010 | | Autor: | Kubs3 |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie das Maximum der Funktion [mm] W(x,t)=x^2*(a-x)*t^2*e^{-t} [/mm] wobei a ein konstaner Koeffizient ist und [mm] a\le [/mm] t ; [mm] t\ge0 [/mm] gilt. |
Theorie ist mir bekannt: Partielle Ableitungen nach x und t, =Gradient, Gradient verschwinden lassen (=0), Gleichungssytem lösen, Hesse-Matrix,...
Nur komme ich mit dem Koeffizienten a nicht zu recht. Bzw. mit einem ev. notwendigen Koeffizientenvergleich....
f(x)´= [mm] 2t^2e^{-t}ax-3t^2*e^{-t}x^2 [/mm]
f(t)´ = [mm] 2ax^2*t*e^{-t}-ax^2t^2e^{-t}-2x^3*t*e^{-t}+x^3*t^2*e^{-t}
[/mm]
Umformen für Koeffizientenvergleich:
[mm] x^3*(t^2*e^{-t}-2*t*e^{-t})+x^2*(2*a*t*e^{-t}-a*t^2*e^{-t})+x*0
[/mm]
[mm] x^3*0-x^2*(3t^2*e^{-t})+x*(2*t^2*e^{-t}a)
[/mm]
1. [mm] t^2*e^{-t}-2*t*e^{-t}=0
[/mm]
2. [mm] 2*a*t*e^{-t}-a*t^2*e^{-t}=-3*t^2*e^{-t}
[/mm]
3. [mm] 2*t^2*e^{-t}*a=0
[/mm]
aus 1. folgt t=2
aber aus 2. bekomme ich 4a-4a=-12 ?
Bitte um einen Tip. Gibt es einen schnelleren Lösungsweg?
Vielen Dank
mfg
Jakob
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Hallo Jakob,
> Ermitteln Sie das Maximum der Funktion
> [mm]W(x,t)=x^2*(a-x)*t^2*e^{-t}[/mm] wobei a ein konstaner
> Koeffizient ist und [mm]a\le[/mm] t ; [mm]t\ge0[/mm] gilt.
> Theorie ist mir bekannt: Partielle Ableitungen nach x und
> t, =Gradient, Gradient verschwinden lassen (=0),
> Gleichungssytem lösen, Hesse-Matrix,...
> Nur komme ich mit dem Koeffizienten a nicht zu recht. Bzw.
> mit einem ev. notwendigen Koeffizientenvergleich....
>
> f(x)´= [mm]2t^2e^{-t}ax-3t^2*e^{-t}x^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f(t)´=[mm]2ax^2*t*e^{-t}-ax^2t^2e^{-t}-2x^3*t*e^{-t}+x^3*t^2*e^{-t}[/mm]
Das ist furchtbar aufgeschrieben. Du meinst [mm] $\frac{\partial W}{\partial x}(x,t)$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial W}{\partial t}(x,t)$
[/mm]
Alternative Schreibweise [mm] $W_x(x,t)=...$ [/mm] resp. [mm] $W_t(x,t)$
[/mm]
Was soll denn bitte $f'(t)$ sein ???
>
> Umformen für Koeffizientenvergleich:
>
> [mm]x^3*(t^2*e^{-t}-2*t*e^{-t})+x^2*(2*a*t*e^{-t}-a*t^2*e^{-t})+x*0[/mm]
> [mm]x^3*0-x^2*(3t^2*e^{-t})+x*(2*t^2*e^{-t}a)[/mm]
>
> 1. [mm]t^2*e^{-t}-2*t*e^{-t}=0[/mm]
> 2. [mm]2*a*t*e^{-t}-a*t^2*e^{-t}=-3*t^2*e^{-t}[/mm]
> 3. [mm]2*t^2*e^{-t}*a=0[/mm]
>
> aus 1. folgt t=2
> aber aus 2. bekomme ich 4a-4a=-12 ?
>
> Bitte um einen Tip.
Der Tipp ist der übliche:
Niemals wie wild ausmultiplizieren, wenn möglich ausklammern und faktorisieren:
Du kannst deine Lösungen schöner schreiben als
(1) [mm] $W_x(x,t)=t^2xe^{-t}\cdot{}(2a-3x)$
[/mm]
(2) [mm] $W_t(x,t)=x^2e^{-t}\cdot{}(t^2-2t)\cdot{}(x-a)$
[/mm]
Und das kannst du viel leichter untersuchen, ein Produkt ist ja genau dann =0, wenn (mind.) einer der Faktoren =0 ist ...
> Gibt es einen schnelleren Lösungsweg?
> Vielen Dank
> mfg
> Jakob
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 16.02.2010 | | Autor: | Kubs3 |
Danke für den Tip.
D.h. ich kann einen von den Faktoren zB. [mm] (t^2-2*t) [/mm] nullsetzen?
--> t=2 ; a=3x/2 ; x=2a/3
Ich weiß noch immer nicht weiter,....
mfg
Jakob
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Hallo Kubs3,
> Danke für den Tip.
> D.h. ich kann einen von den Faktoren zB. [mm](t^2-2*t)[/mm]
> nullsetzen?
> --> t=2 ; a=3x/2 ; x=2a/3
> Ich weiß noch immer nicht weiter,....
Hier hast Du aber erst einen Fall abgehandelt.
Für [mm]W_{t}[/mm] ergibt sich:
[mm]x^{2}*\left(a-x\right)*\left(2t-t^{2}\right)*e^{-t}=0[/mm]
Jetzt hast Du 3 Fälle:
i) x=0
ii) a-x=0
iii) t=0
iv) 2-t=0
Für jeden dieser Fälle schaust Du,
welcher korrespondierende x- bzw. t-Wert
sich aus der Gleichung [mm]W_{x}=0[/mm] ergibt.
Dies sind dann die Kandidaten für mögliche Extrema.
> mfg
> Jakob
Gruss
MathePower
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