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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Chuck86 |
| Aufgabe | Sei R(z) eine Funktion, differenzierbar in einer Umgebung z = 0 mit R(0) = 1 und R′(0) = 1. Dann gilt
für n ≥ 3 folgende Äquivalenz: detR(A)=1 ∀n×nMatrizenAmitSpurA=0⇔ R(z)=exp(z) |
Dieser Satz ist aus dem Buch Geometric Numerical Integration von Hairer, Lubich und Wanner und war Teil meines Seminarvortrages.
Für die Hinrichtung nimmt man eine Diagonalmatrix A = diag(u,v,-(v+u), 0,..,0)
Die Autoren sagen dann, dass für diese Matrizen gilt:
R(A) = diag(R(u),R(v), R(-(v+u)),1, ... ,1)
Allerdings ohne beweis.
Hat jemand ne Idee wie man das beweisen könnte?
Habs schon mit Taylor versucht, aber da weiß man ja nur dass R einmal stetig-diffbar ist.
Bin für Tipps dankbar.
Lg
Christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei R(z) eine Funktion,
Hallo,
irgendeine? Ohne weitere Eigenschaften?
Und von wo nach wo bildet sie ab?
Von [mm] \IC \to \IC?
[/mm]
> differenzierbar in einer Umgebung z = 0 mit R(0) = 1 und R′(0) = 1. Dann gilt
> für n ≥ 3 folgende Äquivalenz:
> detR(A)=1 ∀n×nMatrizenAmitSpurA=0⇔ R(z)=exp(z)
> Dieser Satz ist aus dem Buch Geometric Numerical
> Integration von Hairer, Lubich und Wanner und war Teil
> meines Seminarvortrages.
> Für die Hinrichtung nimmt man eine Diagonalmatrix A =
> diag(u,v,-(v+u), 0,..,0)
> Die Autoren sagen dann, dass für diese Matrizen gilt:
> R(A) = diag(R(u),R(v), R(-(v+u)),1, ... ,1)
> Allerdings ohne beweis.
> Hat jemand ne Idee wie man das beweisen könnte?
> Habs schon mit Taylor versucht, aber da weiß man ja nur
> dass R einmal stetig-diffbar ist.
Falls Deine Funktion wirklich eine komplexe ist, folgt doch aus der einmaligen Diffbarkeit in der Umgebung von 0, daß sie dort beliebig oft diffbar ist und in eine Potenzreihe entwickelbar.
Damit wäre diese Taylor-Hürde doch beiseite geräumt.
Gruß v. Angela
> Bin für Tipps dankbar.
>
> Lg
>
> Christoph
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Di 05.01.2010 | | Autor: | Chuck86 |
Hey,
Danke für den Tipp. Hat geklappt. Hätte man aber auch selber draufkommen können.
lg
Christoph
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