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| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{4-x} [/mm] in eine Potenzreihe um den Punkt [mm] x_{0} [/mm] = 0. Für welche x liegt Konvergenz vor?
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Hallo,
also irgendwie komme ich mit dem Beispiel nicht ganz zurecht und bitte deswegen um Hilfe ;)
Also mein Ansatz wäre gewesen:
f(x) in die allg. Taylorreihe zu entwickeln, das habe ich wie folgt versucht:
ich habe f(x) umgeschrieben auf f(x) = [mm] (4-x)^{-1} [/mm] --> die "n-te" Ableitung lautet dann: [mm] f^{n}(x_0) [/mm] = n! [mm] (4-0)^{-(n+1)} [/mm] .
Diesen Ausdruck habe ich dann in die allgemeine Form d. Taylorpolynoms eingesetzt --> Fakultäten kürzen ich schön raus und erhalte dabei:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x}{4*4^{n}}
[/mm]
Die x-Werte für die die Reihe konvergent ist stellen an und für sich kein großes Problem dar. Danke für eure Hilfe.
Lg, Andi :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mo 04.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
am einfachsten ist hier die geometrische Reihe zu benutzen, nachdem du im Nenner 4 ausgeklammert hast. dann siehst du auch, dass dein Ergebnis richtig ist. und den Konvergenzradius x/4<1 auch gleich.
Aber dein vorgehen ist natuerlich auch richtig.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Mo 04.01.2010 | | Autor: | fencheltee |
muss es nicht [mm] x^n [/mm] im zähler der reihe heissen?
gruß tee
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Hallo ft,
ja, muss es natürlich! Wahrscheinlich vertippt ...
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Nur um kurz die zweite Möglichkeit zu behandeln würde die Reihenentwicklung über die geometrische Riehe dann wie folgt aussehen:
[mm] \bruch{1}{4(1-\bruch{x}{4})} [/mm] daraus ergibt sich dann für die Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{x^{n}}{4^{n}}
[/mm]
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Hallo,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort. Nur um kurz die
> zweite Möglichkeit zu behandeln würde die
> Reihenentwicklung über die geometrische Riehe dann wie
> folgt aussehen:
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> [mm]\bruch{1}{4(1-\bruch{x}{4})}[/mm] daraus ergibt sich dann für
> die Reihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{4}[/mm] * [mm]\bruch{x^{n}}{4^{n}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, ganz recht, in "noch schönerer Darstellung" dann [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^{n+1}}\cdot{}x^n$
[/mm]
LG
schachuzipus
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