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| Aufgabe | | Sei f eine ganze Funktion mit f(z)=f(2z) für alle z € C. Zeige, dass f(z) konstant ist. |
Könnt ihr mal bitte gucken, ob mein Rechenweg so richtig ist? Habe schoneinmal eine ähnliche Frage gestellt und nun versucht eure Antworten hierauf anzuwenden.
Da f(z) ganz ist, lässt sie sich in eine Potenreihe entwickeln:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_{n}z^{n}=\summe_{i=1}^{n}a_{n}2^{n}z^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{n}(a_{n}-a_{n}2^{n})z^{n}=0 [/mm]
Für n=0 folgt
[mm] a_{0}-a_{0}=0 \Rightarrow a_{0}= [/mm] a € [mm] \IC
[/mm]
Für n=1 folgt:
[mm] (a_{0}-a_{0}) [/mm] + [mm] a_{1}-2a_{1}= a_{1}-2a_{1}= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow a_{1}= [/mm] 0
Für n=2,3 ... erhält man auf gleichem Weg, dass [mm] a_{2}= a_{3}= a_{4}= [/mm] .... = 0
Daraus folgt: f(z)=a=const.
Ist das so in Ordnung?
Vielen Dank im Voraus
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Hallo Christiena,
> Sei f eine ganze Funktion mit f(z)=f(2z) für alle z € C.
> Zeige, dass f(z) konstant ist.
> Könnt ihr mal bitte gucken, ob mein Rechenweg so richtig
> ist? Habe schoneinmal eine ähnliche Frage gestellt und nun
> versucht eure Antworten hierauf anzuwenden.
>
> Da f(z) ganz ist, lässt sie sich in eine Potenreihe
> entwickeln:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}a_{n}z^{n}=\summe_{i=1}^{n}a_{n}2^{n}z^{n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{n}(a_{n}-a_{n}2^{n})z^{n}=0[/mm]
> Für n=0 folgt
> [mm]a_{0}-a_{0}=0 \Rightarrow a_{0}=[/mm] a € [mm]\IC[/mm]
>
Die Folgerung wird hier nicht ersichtlich.
Für n=0 ergibt sich doch:
[mm]a_{0}-a_{0}2^{0}=a_{0}*\left(1-2^{0}\right)[/mm]
Und da [mm]2^{0}=1[/mm] ist, muß [mm]a_{0}[/mm] von 0 verschieden sein.
> Für n=1 folgt:
> [mm](a_{0}-a_{0})[/mm] + [mm]a_{1}-2a_{1}= a_{1}-2a_{1}=[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow a_{1}=[/mm] 0
>
> Für n=2,3 ... erhält man auf gleichem Weg, dass [mm]a_{2}= a_{3}= a_{4}=[/mm]
> .... = 0
>
Für alle anderen n ist, [mm]2^{n} \not=1[/mm].
Daraus ergibt sich dann [mm]a_{n}=0[/mm].
> Daraus folgt: f(z)=a=const.
>
> Ist das so in Ordnung?
>
> Vielen Dank im Voraus
>
Gruss
MathePower
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Also bist du mit meinem Endergebnis einverstanden? :)
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Hallo Christiena,
> Also bist du mit meinem Endergebnis einverstanden? :)
Mit den angebrachten Korrekturen, ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 So 16.10.2011 | | Autor: | Christiena |
Das ist super! Dankeschön!! :)
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