Funktion mit Kotangens < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Di 20.01.2009 | | Autor: | Eliza |
Hallo zusammen,
ich versuche grade einen Beweis zur Dedekindschen [mm] $\eta$-Funktion [/mm] nachzuvollziehen und hänge an folgender Stelle:
Gegeben sind [mm] $y\in\IR \text{ fest},\ [/mm] y>0$, [mm] $n\in\IN\backslash\{0\}$, [/mm] und [mm] $N=n+\br{1}{2}$
[/mm]
und damit die Funktionenfolge
[mm] $F_n(z)=-\br{1}{8z}\cot{\pi i N z}\cot{\br{\pi N z}{y}}$.
[/mm]
Nun steht da: [mm] $F_n$ [/mm] hat einen dreifachen Pol bei z=0 mit Residuum [mm] $i\;\br{y-y^{-1}}{24}$.
[/mm]
Leider hab ich nicht sehr viel Ahnung von Residuen-Rechnung, brauche diesen Beweis aber für einen Seminarvortrag. Kann mir irgendjemand sagen, wie man auf dieses Residuum kommt?
Danke schonmal für alle Ideen oder Ansätze!
Viele Grüße,
Eliza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Di 20.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Du benötigst die Reihendarstellung von Kotangens:
[mm] $\pi cot(\pi [/mm] z) = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] )$
für z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \IZ
[/mm]
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:42 Di 20.01.2009 | | Autor: | Eliza |
Hallo Fred,
naja, also ich muss zugeben, dass mir das nun leider nicht sehr viel weiter geholfen hat. Wie gesagt bin ich in Residuenrechnung nicht grade sehr bewandert... Könntest du mir vielleicht erklären wie man hier vorgeht?
Danke schonmal,
Grüße Eliza
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Di 20.01.2009 | | Autor: | fred97 |
O.K. ich versuchs. Ich muß aber über Deinen Kenntnisstand ein wenig Bescheid wissen.
Dazu 2 Fragen:
1. kennst Du Dich aus mit isolierten Singularitäten holomorpher Funktionen ?
2. kennst Du die Laurententwicklung um solche Singularitäten ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Di 20.01.2009 | | Autor: | Eliza |
Hallo Fred,
danke schonmal für die Bemühungen.
> 1. kennst Du Dich aus mit isolierten Singularitäten
> holomorpher Funktionen ?
Ja, ich denke schon, so einigermaßen. Sonst weiß ich zumindest, wo ichs nachlesen kann 
> 2. kennst Du die Laurententwicklung um solche
> Singularitäten ?
Hmm, Laurententwicklung ist die "Erweiterung" der Tyalor-Entwicklung, richtig? Also sowas: [mm] $\sum_{n\in\IZ}a_n(z-z_0)^n$. [/mm] Und bei Polstellen sind nur endlich viele der [mm] $a_n\not=0$ [/mm] für negative n. Richtig?
Grüße Eliza
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
Und was versteht man unter dem Residuum ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Eliza |
Guten Morgen!
Ehm, ja also das ist eine gute Frage. Die Definition weiß ich wohl: [mm] $2\pi i\,Res_f(z_0)=\int_Kf(z) [/mm] dz$, wobei K ein Kreis um [mm] $z_0$ [/mm] ist, dessen Radius klein genug ist, dass keine andere Singularität innerhalb des Kreises liegt. Aber eine Anschauung davon hab ich nicht wirklich...
Grüße Eliza
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Do 22.01.2009 | | Autor: | Eliza |
Hallo zusammen!
Leider weiß ich nun immernoch nicht, wie man das Residuum ausrechnet und der Vortrag rückt näher. Hat vielleicht noch jemand Ideen oder Ansätze für mich?
Danke im Voraus,
Grüße Eliza
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Es war
$ [mm] F_n(z)=-\br{1}{8z}\cot{\pi i N z}\cot{\br{\pi N z}{y}} [/mm] $.
1. Der Faktor [mm] -\br{1}{8z} [/mm] hat in 0 einen einfachen Pol mit Residuum [mm] -\br{1}{8}
[/mm]
2. Mit
$ [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ) $
sieht man: der Faktor [mm] \cot{\pi i N z} [/mm] hat in 0 einen einfachen Pol mit Residuum [mm] \br{1}{iN}
[/mm]
3. Mit
$ [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ) $
sieht man: der Faktor [mm] \cot{\br{\pi N z}{y}} [/mm] hat in 0 einen einfachen Pol mit Residuum [mm] \br{y}{N}
[/mm]
Ich komme dann auf folgendes:
[mm] F_n [/mm] hat in 0 einen 3 -fachen Pol mit Residuum [mm] \br{y}{8N^2}
[/mm]
Tja nicht das , was Du willst. Gibt es noch einen Zusammenhang zwischen N und y ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 22.01.2009 | | Autor: | Eliza |
Hallo Fred!
Danke für deine Antwort!
> [mm]F_n(z)=-\br{1}{8z}\cot{\pi i N z}\cot{\br{\pi N z}{y}} [/mm].
>
> 1. Der Faktor [mm]-\br{1}{8z}[/mm] hat in 0 einen einfachen Pol mit
> Residuum [mm]-\br{1}{8}[/mm]
Da [mm] $\br{1}{z}$ [/mm] Residuum 1 hat und man den Faktor [mm] $-\br{1}{8}$ [/mm] "rausziehen" darf. Richtig?
> 2. Mit
>
>
> [mm]\pi cot(\pi z) = \bruch{1}{z} + \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n}) + \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n} )[/mm]
>
>
> sieht man: der Faktor [mm]\cot{\pi i N z}[/mm] hat in 0 einen
> einfachen Pol mit Residuum [mm]\br{1}{iN}[/mm]
Ok, also die beiden Summen haben keine Singularität bei 0 deshalb darf ich sie außer Acht lassen. Und (eingesetzt) [mm] $\br{1}{iNz}$ [/mm] hat (wie oben argumentiert) Residuum [mm] $\br{1}{iN}$. [/mm] Richtig?
Und was ist mit dem [mm] $\pi$ [/mm] auf der linken Seite deiner Gleichung? Muss ich das nicht auch noch beachten?
> 3. Mit
>
>
> [mm]\pi cot(\pi z) = \bruch{1}{z} + \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n}) + \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n} )[/mm]
>
>
> sieht man: der Faktor [mm]\cot{\br{\pi N z}{y}}[/mm] hat in 0 einen
> einfachen Pol mit Residuum [mm]\br{y}{N}[/mm]
Ok, gleiche Argumentation und gleiche Frage wie bei 2. Was ist mit dem [mm] $\pi$?
[/mm]
> Ich komme dann auf folgendes:
>
> [mm]F_n[/mm] hat in 0 einen 3 -fachen Pol mit Residuum [mm]\br{y}{8N^2}[/mm]
Also darf man die Residuen der einzelnen Faktoren einfach multiplizieren? Und wo ist das i von 2. abgeblieben?
> Tja nicht das , was Du willst. Gibt es noch einen
> Zusammenhang zwischen N und y ?
Nicht, dass ich wüsste, aber ich werd nochmal nachschauen.
Grüße Eliza
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
>
> Danke für deine Antwort!
>
> > [mm]F_n(z)=-\br{1}{8z}\cot{\pi i N z}\cot{\br{\pi N z}{y}} [/mm].
> >
> > 1. Der Faktor [mm]-\br{1}{8z}[/mm] hat in 0 einen einfachen Pol mit
> > Residuum [mm]-\br{1}{8}[/mm]
>
> Da [mm]\br{1}{z}[/mm] Residuum 1 hat und man den Faktor [mm]-\br{1}{8}[/mm]
> "rausziehen" darf. Richtig?
Ja
>
> > 2. Mit
> >
> >
> > [mm]\pi cot(\pi z) = \bruch{1}{z} + \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n}) + \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n} )[/mm]
> >
> >
> > sieht man: der Faktor [mm]\cot{\pi i N z}[/mm] hat in 0 einen
> > einfachen Pol mit Residuum [mm]\br{1}{iN}[/mm]
>
> Ok, also die beiden Summen haben keine Singularität bei 0
> deshalb darf ich sie außer Acht lassen. Und (eingesetzt)
> [mm]\br{1}{iNz}[/mm] hat (wie oben argumentiert) Residuum
> [mm]\br{1}{iN}[/mm]. Richtig?
>
> Und was ist mit dem [mm]\pi[/mm] auf der linken Seite deiner
> Gleichung? Muss ich das nicht auch noch beachten?
Du hast recht ! Man muß noch durch [mm] \pi [/mm] div.:
Residuum = [mm] \br{1}{iN \pi}
[/mm]
>
> > 3. Mit
> >
> >
> > [mm]\pi cot(\pi z) = \bruch{1}{z} + \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n}) + \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n} )[/mm]
> >
> >
> > sieht man: der Faktor [mm]\cot{\br{\pi N z}{y}}[/mm] hat in 0 einen
> > einfachen Pol mit Residuum [mm]\br{y}{N}[/mm]
>
> Ok, gleiche Argumentation und gleiche Frage wie bei 2. Was
> ist mit dem [mm]\pi[/mm]?
Wie oben: Du hast recht ! Man muß noch durch [mm] \pi [/mm] div.:
Residuum = [mm] \br{y}{N \pi}
[/mm]
>
> > Ich komme dann auf folgendes:
> >
> > [mm]F_n[/mm] hat in 0 einen 3 -fachen Pol mit Residuum [mm]\br{y}{8N^2}[/mm]
>
> Also darf man die Residuen der einzelnen Faktoren einfach
> multiplizieren? Und wo ist das i von 2. abgeblieben?
Du hast wieder recht, auch da habe ich geschlampt ! Ich hoffe, dass es jetzt stimmt:
[mm]F_n[/mm] hat in 0 einen 3 -fachen Pol mit Residuum [mm]\br{iy}{8(N \pi)^2}[/mm]
>
> > Tja nicht das , was Du willst. Gibt es noch einen
> > Zusammenhang zwischen N und y ?
>
> Nicht, dass ich wüsste, aber ich werd nochmal nachschauen.
>
> Grüße Eliza
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Do 22.01.2009 | | Autor: | Eliza |
Ok, danke erstmal Fred.
Dann werd ich jetzt mal versuchen, ob ich damit irgendwie auf das Ergebnis komme, das im Buch steht!
Grüße Eliza
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mo 16.02.2009 | | Autor: | Eliza |
Hallo Fred, hallo alle zusammen!
Ich weiß zwar immernoch nicht so genau, wie man auf dieses Residuum kommt (vermutlich über die Formel [mm] $Res_a f=\br{1}{(n-1)!}\lim_{z\to a}\br{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}\left((z-a)^nf(z)\right)$ [/mm] für einen Pol n-ter Ordnung in a), ich wollte aber der Vollständigkeit halber noch ergänzen, dass die von Fred angegebene Methode falsch ist. Man darf die Residuen der einzelnen Faktoren der Funktion nicht einfach multiplizieren.
Ich danke dir natürlich trotzdem für deine Mühe, Fred!
Viele Grüße,
Eliza
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