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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Sa 09.02.2013 | | Autor: | PeterXX |
Hallo, in einer Aufgabensammlung finde ich folgende Aufgabe:
Ist durch die folgende Zuordnungsvorschrift eine Funktion y = f(x) erklärt?
l y l [mm] = \bruch{ ln x}{x^2 +1} [/mm] für x=> 1.
Die Zeichen rechts und links vom y sollen die Betragsstriche sein.( Die TeX-Formel verlangt bei der Eingabe einen senkrechten Strich, aber wenn ich diesen auf meiner Tastatur hätte, dann brauchte ich keine TeX-Formel um den Betragsstrich darzustellen.) Laut Lösungsbuch ist es keine Funktion.
Nun mein Problem: Wenn um das y keine Betragsstriche wären, würde ich sagen, dies ist Funktion. Aber ich kann mit den Betragsstrichen um das y überhaupt nichts anfangen. Wenn die Betragsstriche rechts von dem Gleichheitszeichen wären, dann ist es eine Funktion. Aber die Betragsstriche um das y sagen doch, mit dem y wird noch etwas gemacht. Eigentlich müßte es doch heißen: g(y) = l y l = ..... In dem Sinne ist die obige Zuordnung doch keine Funktion, da das y noch einer weiteren "Bearbeitung" unterliegt. Wer kann mich aufklären?
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Hallo Peter,
> Hallo, in einer Aufgabensammlung finde ich folgende
> Aufgabe:
> Ist durch die folgende Zuordnungsvorschrift eine Funktion
> y = f(x) erklärt?
>
> |y| [mm]= \bruch{ ln x}{x^2 +1}[/mm] für x=> 1. (*)
> Nun mein Problem: Wenn um das y keine Betragsstriche
> wären, würde ich sagen, dies ist Funktion. Aber ich kann
> mit den Betragsstrichen um das y überhaupt nichts
> anfangen. Wenn die Betragsstriche rechts von dem
> Gleichheitszeichen wären, dann ist es eine Funktion. Aber
> die Betragsstriche um das y sagen doch, mit dem y wird noch
> etwas gemacht. Eigentlich müßte es doch heißen: g(y) =
> l y l = ..... In dem Sinne ist die obige Zuordnung doch
> keine Funktion, da das y noch einer weiteren "Bearbeitung"
> unterliegt. Wer kann mich aufklären?
Eine Funktion ist per Definition eine Abbildung, die jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert zuordnet.
Du hast oben noch keine explizite Funktion vorgegeben (weil nicht y = ... dasteht, wie du bereits richtig erkannt hast).
Um zu überprüfen, ob durch die Gleichung (*) eine Funktion beschrieben wird, musst du also überprüfen, ob jedem x-Wert nur ein y-Wert zugeordnet wird.
Das heißt: Hat die Gleichung (*) für jedes x nur eine Lösung y?
Das ist offensichtlich NICHT der Fall, denn ist $y$ eine Lösung, dann ist auch $-y$ eine Lösung. Daher wird durch (*) keine Funktion beschrieben.
Viele Grüße,
Stefan
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:35 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Edit: Die Korrekturmitteilung war Quatsch, ich hatte nicht bedacht, dass
der Betrag um das [mm] $y\,$ [/mm] steht...
Daher richtig: Steppenhahns Antwort ist richtig, was man erkennt, wenn man
beachtet, dass [mm] $|y|=|-y|\,$ [/mm] gilt.
So gilt etwa für [mm] $x=e\,,$ [/mm] dass die Gleichung
[mm] $$|y|=\ln(x)/(x^2+1)$$
[/mm]
für [mm] $y=\ln(e)/(e^2+1)=\tfrac{1}{e^2+1}$ [/mm] und für [mm] $y=\;-\;\tfrac{1}{e^2+1}$
[/mm]
gilt.
Gruß,
Marcel
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