Funktion über Punkte legen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Do 15.11.2012 | | Autor: | Lutzi |
Guten Nabend,
ich habe heute eine Funktion anhand von vier gegebenen Punkten berechnet. Diese Funktion bildet ein Polynom dritten Grades.
Die Punkte haben folgende Koordinaten:
P1(20,40), P2(50,70), P3(110,80), P4(150,140)
Das entsprechende Polynom sieht dann wie folgt aus (berechnet nach dem Schema der dividierten Differenzen):
f(x) = 40 + 1*x - [mm] 0.00925926*x^2 [/mm] + [mm] 0.00017379*x^3
[/mm]
Soweit so gut. Jetzt habe ich die Funktion und möchte diese über die 4 Koordinaten legen. Wenn ich die Funktion und die Punkte aber in ein und dem selben Koordinaten System zeichne, liegen die Punkte komischerweise nicht auf der Funktion. ![[]](/images/popup.gif) Siehe Bild
Normalerweise sollte die Funktion doch genau durch die vier Punkte laufen. Was habe ich falsch gemacht?
MfG
Lutzi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Guten Nabend,
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> ich habe heute eine Funktion anhand von vier gegebenen
> Punkten berechnet. Diese Funktion bildet ein Polynom
> dritten Grades.
>
> Die Punkte haben folgende Koordinaten:
> P1(20,40), P2(50,70), P3(110,80), P4(150,140)
>
> Das entsprechende Polynom sieht dann wie folgt aus
> (berechnet nach dem Schema der dividierten Differenzen):
> f(x) = 40 + 1*x - [mm]0.00925926*x^2[/mm] + [mm]0.00017379*x^3[/mm]
>
> Soweit so gut. Jetzt habe ich die Funktion und möchte
> diese über die 4 Koordinaten legen. Wenn ich die Funktion
> und die Punkte aber in ein und dem selben Koordinaten
> System zeichne, liegen die Punkte komischerweise nicht auf
> der Funktion.
> > http://s14.directupload.net/images/121115/6o3r5uoc.png" title="Link zu
> http://s14.directupload.net/images/121115/6o3r5uoc.png">Siehe Bild
>
> Normalerweise sollte die Funktion doch genau durch die vier
> Punkte laufen. Was habe ich falsch gemacht?
Du hast Dich verrechnet ! Ohne Deine Rechnungen können wir den Fehler nicht finden.
FRED
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> MfG
> Lutzi
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Do 15.11.2012 | | Autor: | Lutzi |
P1(20, 40)
P2(50, 70)
P3(110, 80)
P4(150, 140)
a0 = y1 = 40
a1 = (y1 - y2) / (x1 - x2) = (40 - 70)/(20 - 50) = 1
b2 = (y2 - y3) / (x2 - x3) = (70 - 80)/(50 - 110) = 0,16666666
b3 = (y3 - y4) / (x3 - x4) = (80 - 140)/(110 - 150) = 1,5
a2 = (a1 - b2) / (x1 - x3) = (1 - 0,16666666)/(20 - 110) = - 0,00925926
b4 = (b2 - b3) / (x2 - x4) = (0,16666666 - 1,5)/(50 - 150) = 0,01333333
a3 = (a2 - b4) / (x1 - x4) = (- 0,00925926 - 0,01333333)/(20 - 150) = 0,00017379
Folglich bekomme ich die Funktion
f(x) = a0 + a1*x + [mm] a2*x^2 [/mm] + [mm] a3*x^3 [/mm] = 40 + x - [mm] 0,00925926*x^2 [/mm] + [mm] 0,00017379*x^3
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Do 15.11.2012 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, deine Gleichungen lauten
40=8000a+400b+20c+d
70=125000a+2500b+50c+d
80=1331000a+12100b+110c+d
140=3375000a+22500b+150c+d
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Do 15.11.2012 | | Autor: | Lutzi |
Wie bist du auf die Gleichungen gekommen?
Diesen Schritt kann ich jetzt nicht nachvollziehen =(
Der nächste Schritt wäre jetzt diese gleichungen nach a,b,c,d umzustellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Do 15.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Wie bist du auf die Gleichungen gekommen?
Du hast f(x)=ax³+bx²+cx+d
Nun folgt aus:
[mm] P_1(20,40) [/mm] dass f(20)=40, aus [mm] P_2(50,70) [/mm] folgt f(50)=70, aus [mm] P_3(110,80) [/mm] folgt g(110)=80 und aus [mm] P_4(150,140) [/mm] folgt f(150)=140.
Das ergibt genau diese vier Gleichungen.
Das ist ein klassischer Vertreter der  Steckbriefaufgaben
> Diesen Schritt kann ich jetzt nicht nachvollziehen =(
>
> Der nächste Schritt wäre jetzt diese gleichungen nach
> a,b,c,d umzustellen?
Ja, und dazu nutze am besten den Gauß-Algorithmus, dieser ist auch bei Arndt Brünner erklärt.
Marius
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![[]](http://s14.directupload.net/images/121115/6o3r5uoc.png){kind=small}
Siehe Bild