Funktion über Sphärenschnitt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Rubikon |
| Aufgabe | | Ich habe diese Frage bereits auf dem Matheplaneten gestellt, allerdings nach nun gut einer Woche keine Antwort erhalten. |
Hallo,
meine Frage bezieht sich auf ![[]](/images/popup.gif) diesen Artikel über den Fixpunktsatz von Brouwer.
Im Beweis von Lemma 1 wird eine Funktion F angegeben, die den Schnitt der Sphäre mit der beschriebenen Halbgeraden angeben soll. Anschließend wird gesagt, dass gilt.
Dazu müsste doch gelten.
Also wenn ich setze:
Das ist ja aber nicht immer der Fall?
Ich hab ja selber ein wenig rumgerechnet und kam dann beim Schnitt mit der Geraden und der Spähre mit Hilfe der Mitternachtsformel jeweils auf zwei Schnittpunkte. Hier wurde für F jeweils immer nur einer von beiden verwendet. Muss die Funktion also umdefiniert werden? Und wie kann man mit der neuen Funktion zeigen, dass F stetig differenzierbar ist?
Danke für eure Antworten!
Gruß Rubikon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Fr 06.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage bereits auf dem Matheplaneten
> gestellt, allerdings nach nun gut einer Woche keine Antwort
> erhalten.
>
>
> Hallo,
>
> meine Frage bezieht sich auf
> diesen
> Artikel über den Fixpunktsatz von Brouwer.
>
> Im Beweis von Lemma 1 wird eine Funktion F angegeben, die
> den Schnitt der Sphäre mit der beschriebenen Halbgeraden
> angeben soll. Anschließend wird gesagt, dass
> gilt.
> Dazu müsste doch
>
> gelten.
>
> Also wenn ich setze:
>
>
> Das ist ja aber nicht immer der Fall?
Doch, das Skalarprodukt [mm] [/mm] ist für x mit ||x||=1 stets [mm] \ge [/mm] 0:
Für x mit $||x||=1$ ist
[mm] $=\frac{1}{||x-f(x)||}(1-)$
[/mm]
Wegen $f(B) [mm] \subseteq [/mm] B$ ist $||f(x)|| [mm] \le [/mm] 1$ und somit folgt mit der Cauchy-Schwarzschen- Ungliechung
$<x,f(x)> [mm] \le [/mm] |<x,f(x)>| [mm] \le [/mm] ||x||*||f(x)|| [mm] \le [/mm] 1$, also ist $1-<x,f(x)> [mm] \ge [/mm] 0$
FRED
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> Ich hab ja selber ein wenig rumgerechnet und kam dann beim
> Schnitt mit der Geraden und der Spähre mit Hilfe der
> Mitternachtsformel jeweils auf zwei Schnittpunkte. Hier
> wurde für F jeweils immer nur einer von beiden verwendet.
> Muss die Funktion also umdefiniert werden? Und wie kann man
> mit der neuen Funktion zeigen, dass F stetig
> differenzierbar ist?
>
> Danke für eure Antworten!
>
> Gruß Rubikon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Rubikon |
Danke dir vielmals!
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