Funktionalgleichung Beweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 So 03.01.2010 | | Autor: | j3ssi |
| Aufgabe | | bestimmen sie alle stetigen Funktionen f: [mm] \IR-> \IR [/mm] die der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)*f(y) , x,y [mm] \in \IR [/mm] |
Als ersten Schritt hab ich x=y= 0 gesetzt darauss folgt das f(0)=0 oder f(0)=1 sein muss. Weiter weiss ich das die ´gesuchten funktionen keine definitionslücken haben und das für den fall das f eine nullstelle hat es die Nullfunktion ist. Ausserdem weiss ich das [mm] f(x)=\bruch{1}{f(-x)} [/mm] ist.
Meine Frage ist wie ich daraus einen stichhaltigen Beweis fornuliere das eben nur die nullfunktion und [mm] a^{x} [/mm] für a > 0 dieser funktionalgleichung genügen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 So 03.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> bestimmen sie alle stetigen Funktionen f: [mm]\IR-> \IR[/mm] die der
> Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)*f(y) , x,y [mm]\in \IR[/mm]
> Als
> ersten Schritt hab ich x=y= 0 gesetzt darauss folgt das
> f(0)=0 oder f(0)=1 sein muss. Weiter weiss ich das die
> ´gesuchten funktionen keine definitionslücken haben und
> das für den fall das f eine nullstelle hat es die
> Nullfunktion ist. Ausserdem weiss ich das
> [mm]f(x)=\bruch{1}{f(-x)}[/mm] ist.
>
> Meine Frage ist wie ich daraus einen stichhaltigen Beweis
> fornuliere das eben nur die nullfunktion und [mm]a^{x}[/mm] für a >
> 0 dieser funktionalgleichung genügen.
Tipp: Durch zwei Punkte ist die Funktion vollständig festgelegt, zum Beispiel durch die Funktionswerte $f(0)$ und $f(1)$. Wenn dir das nicht einleuchtet, bedenke, dass aus der Funktionalgleichung [mm] $f(2x)=f(x)^2$ [/mm] und damit [mm] $f(nx)=f(x)^n$ [/mm] für [mm] $n\in \IN$ [/mm] folgt, und dass damit die Funktionswerte für alle rationalen x bestimmt sind. Die Frage ist dann nur noch, warum dies auch für beliebige reelle x gilt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 03.01.2010 | | Autor: | j3ssi |
Wie zu $ f(0) $ komme ist klar aber wie finde ich heraus was $ f(1) $ ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 So 03.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Wie zu [mm]f(0)[/mm] komme ist klar aber wie finde ich heraus was
> [mm]f(1)[/mm] ist?
Hallo,
aus der Funkttionalgleichung folgt
f(1+0)=f(1)*f(0),
also
f(1)=f(1)*f(0). Daraus hast du sicherlich f(0)=1 erhalten.
f(1) bekommst du so nicht heraus, nehmen wir mal an, es ist frei wählbar.
Dann bekommst du
[mm] f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)=f(1)^2
[/mm]
[mm] f(3)=f(2+1)=f(2)*f(1)=f(1)^3
[/mm]
...
[mm] f(n)=f(1)^n
[/mm]
Jetzt setze für f(1) mal einen beliebigen Wert c ein...
Gruß Abakus
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