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| Aufgabe | | Zeigen Sie. Wenn f und g injektiv sind, dann ist auch f [mm] \circ [/mm] g injektiv. |
Hallo
ich würde die Aufgabe so lösen:
Wenn f [mm] \circ [/mm] g injektiv wäre, dann müsste für die Umkehrfunktion gelten:
(f [mm] \circ g)^{-1} [/mm] = [mm] g^{-1} \circ f^{-1}
[/mm]
Da sowohl [mm] f^{-1} [/mm] als auch [mm] g^{-1} [/mm] eindeutig definiert sind, existiert auch die Umkehrfunktion, was gleichbedeutend ist mit der Aussage, dass f [mm] \circ [/mm] g injektiv ist.
Ist damit die Aufgabe in zulässiger Weise gelöst? Oder fehlt da noch was?
Danke und Gruß
Martin
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Hallo,
> Zeigen Sie. Wenn f und g injektiv sind, dann ist auch f
> [mm]\circ[/mm] g injektiv.
> Hallo
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> ich würde die Aufgabe so lösen:
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> Wenn f [mm]\circ[/mm] g injektiv wäre, dann müsste für die
> Umkehrfunktion gelten:
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> (f [mm]\circ g)^{-1}[/mm] = [mm]g^{-1} \circ f^{-1}[/mm]
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> Da sowohl [mm]f^{-1}[/mm] als auch [mm]g^{-1}[/mm] eindeutig definiert sind,
> existiert auch die Umkehrfunktion, was gleichbedeutend ist
> mit der Aussage, dass f [mm]\circ[/mm] g injektiv ist.
Injektivität reicht nicht für die Umkehrbarbeit, dazu müssten beide Funktionen bijektiv sein.
Wenn g injektiv ist, dann gilt per Voraussetzung
[mm] x_1\ne{x_2}\ \Rightarrow\ g(x_1)\ne{g(x_2)}
[/mm]
Was folgt also dann mit der Injektivität von f?
Gruß, Diophant
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