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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Also ich habe F:={ f | f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] } (war in einer anderen Aufgabe der [mm] \IR-Vektorraum).
[/mm]
und ich soll überprüfen ob die 3 Funktionen :
[mm] f(x)=sin^{2}(x)
[/mm]
[mm] g(x)=cos^{2}(x)
[/mm]
h(x)=2
linear unabhängige Teilmengen von F sind.
Ich hab schon die lineare abhängigkeit von Tupeln bestimmt.
[mm] c_{1}a [/mm] + [mm] c_{2}b+c_{3}c [/mm] = 0
Das war ja ganzn einfach aber wie gehe ich da bei funktionen ran ?
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Hallo Ayame,
das geht im Prinzip ganz genauso. Gibt es eine Linearkombination der Funktionen, die (für alle x) zu Null wird?
Bei Deinen vorliegenden Funktionen ist das so. Du siehst bestimmt, wieso.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Also so :
Annahmen : [mm] 0=c_{1}sin^{2} [/mm] + [mm] c_{2}cos^{2} [/mm] + [mm] c_{3}2
[/mm]
und nun muss ich gucken ob ich zahlen für die koeffizienten finde?
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Ja, genau.
Wenn es eine Lösung gibt, dann gibt es natürlich auch unendlich viele, die einfach nur Vielfache davon sind.
...sprach der weise trigonometrische Pythagoras. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Ok dann hätte ich eine lösung parat :
0 = [mm] c_{1}*sin^{2}(x) [/mm] + [mm] c_{2}*cos^{2}(x) [/mm] + [mm] c_{3}*2
[/mm]
Für [mm] sin^{2} [/mm] kann ich auch [mm] 1-cos^{2} [/mm] schreiben , also :
0 = [mm] c_{1}*(1-cos^{2}(x)) [/mm] + [mm] c_{2}*cos^{2}(x) [/mm] + [mm] c_{3}*2
[/mm]
[mm] cos^{2} [/mm] (und auch [mm] sin^{2}) [/mm] können nur werte zwischen 0 und 1 sein.
daher nehme ich als beispiel [mm] cos^{2}(x) [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow 1-cos^{2}(x)=0 \Rightarrow [/mm] :
(Denn [mm] sin^{2} [/mm] + [mm] cos^{2} [/mm] an der gelichen stelle x ergibt immer 1.)
daraus folgt :
0 = [mm] 1*(1-cos^{2}(x)) [/mm] + [mm] 1*cos^{2}(x) [/mm] + [mm] c_{3}*2
[/mm]
Dann muss damit 0 rauskommt [mm] c_{3}*2 [/mm] = -1 sein [mm] \Rightarrow c_{3}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ist das so richtig ??
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Hallo nochmal,
ja, (1;1;-0.5) ist eine Lösung, wie auch jedes ihrer Vielfachen. Schöner zu lesen ist vielleicht (2;2;-1), aber das ist ja auch Geschmackssache.
Die Funktionen f,g,h sind also nicht linear unabhängig.
Gut gemacht!
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Super Dankeschön :)
Jetzt hab ich es auch verstanden und man fühlt sich auch gleich sicherer bei den Aufgaben.
Eine gute Nacht wünsch ích
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