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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Fr 16.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Es seien X,Y und Z Mengen und f: X->Y. sowie g:Y->Z Abbildungen. Dann ist die Verkettung von f und g definiert durch g [mm] \circ [/mm] f: X-> Z mit g [mm] \circ [/mm] f(x):= g(f(x)), x [mm] \in [/mm] X.
Beweisen sie folgenden Aussagen:
a) Sind f und g injektiv, so ist auch g [mm] \circ [/mm] f injektiv.
b) Ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv und f surjektiv, so ist g injektiv |
Hallo,
kann mir jmd sagen, ob das stimmt?
a)
Vorraussetzung:
f(x1) = f(x2) daraus folgt x1 = x2
g(x1) = g(x2) daraus folgt x1 = x2
zu zeigen: wenn
g(f(x1)) = g(f(x2)) daraus folgt x1 = x2
Also:
g(f(x1)) = g(f(x2))
daraus folgt, weil g injektiv, dass
f(x1) = f(x2)
daraus folgt, weil f injektiv, dass
x1 = x2
Im voraus schonmal vielen dank
Lg Melisa
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Hi Melisa,
> Es seien X,Y und Z Mengen und f: X->Y. sowie g:Y->Z
> Abbildungen. Dann ist die Verkettung von f und g definiert
> durch g [mm]\circ[/mm] f: X-> Z mit $\ [mm] \red(g \circ f\red)(x):= [/mm] g(f(x)), x [mm]\in[/mm]
> X.
>
> Beweisen sie folgenden Aussagen:
>
> a) Sind f und g injektiv, so ist auch g [mm]\circ[/mm] f injektiv.
> b) Ist g [mm]\circ[/mm] f injektiv und f surjektiv, so ist g
> injektiv
> Hallo,
>
> kann mir jmd sagen, ob das stimmt?
>
> a)
> Vorraussetzung:
>
> f(x1) = f(x2) daraus folgt x1 = x2
>
> g(x1) = g(x2) daraus folgt x1 = x2
>
>
> zu zeigen: wenn
>
> g(f(x1)) = g(f(x2)) daraus folgt x1 = x2
>
>
> Also:
>
> g(f(x1)) = g(f(x2))
>
> daraus folgt, weil g injektiv, dass
>
> f(x1) = f(x2)
>
> daraus folgt, weil f injektiv, dass
>
> x1 = x2
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Im voraus schonmal vielen dank
>
> Lg Melisa
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Fr 16.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Chopysuey,
danke für die schnelle Antwort!
Super endlich mal was richtig gemacht :)
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Fr 16.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
bei der b habe ich schwierigkeiten :S
Das f surjektiv ist bedeutet, dass das Urbild jedes Elementes der Bildmenge mindestens ein Element hat. Für f: X --> Y bedeutet dies:
f(X) = Y.
(g*f)(X) = g(f(X)) = g(Y)
stimmt meine Überlegung soweit?
Lg Melisa
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Hi Melisa,
> Hallo,
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> bei der b habe ich schwierigkeiten :S
>
> Das f surjektiv ist bedeutet, dass das Urbild jedes
> Elementes der Bildmenge mindestens ein Element hat. Für f:
> X --> Y bedeutet dies:
> f(X) = Y.
>
> (g*f)(X) = g(f(X)) = g(Y)
>
> stimmt meine Überlegung soweit?
Wir wissen, dass $\ g [mm] \circ [/mm] f $ injektiv ist.
Also $\ [mm] g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2)) \Rightarrow f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] $ für alle $\ f(x) [mm] \in [/mm] Y $ (*)
Weiter wissen wir, dass $\ f $ surjektiv ist.
Also $\ f(x) := y $ für alle $\ x [mm] \in [/mm] X $
Also können wir (*) schreiben als:
Also $\ [mm] g(y_1) [/mm] = [mm] g(y_2) \Rightarrow y_1 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] $ für alle $\ y [mm] \in [/mm] Y $ (*)
Das wiederum ist gerade die Definition von Injektivität.
Also ist $\ g $ injektiv.
Es kommt vor, dass es zu einer Sache mehrere Definitionen gibt, die aber allesamt Äquivalent sind. So z.b. auch hier bzgl. Injektivität und Surjektivität.
Lass dich dadurch nicht beirren.
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> Lg Melisa
>
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Fr 16.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
okay habs jetzt verstanden dankeee ;)
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