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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x^2+3x+4 [/mm] : [mm] x^3-5
[/mm]
[mm] b)\limes_{n\rightarrow\infty} 2x^2-5x^6+4 [/mm] : [mm] 3x^4+6x^6 [/mm] |
Guten Morgen Mathefreunde,
tja ja, jetzt habe ich erneut mein Lernheft durchgelesen und immernoch überkommt mich das Gefühl mich im Kreis zu drehen.
Ich weiß das wenn n<m ist der Grenzwert 0. Sozusagen habe ich jetzt immer nachgesehen ob die Potenz im Nennerpolynom größer ist als im Zählerpolynom. Bei Aufgabe a) sehe ich ja zb. dass das Nennerpolynom größer ist, also nach meiner Vermutung a1=b1=1. Jedenfalls habe ich das so einige Male in unserem Lernheft nachgelesen. Da die Aufgabenstellung heißt " berechnen " Sie die Grenzwerte komm ich einfach nicht weiter. Könntet ihr mir bitte einen Ansatz liefern?
Grüße,
Sebastian
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> Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
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> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x^2+3x+4[/mm] : [mm]x^3-5[/mm]
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> [mm]b)\limes_{n\rightarrow\infty} 2x^2-5x^6+4[/mm] : [mm]3x^4+6x^6[/mm]
> Guten Morgen Mathefreunde,
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> tja ja, jetzt habe ich erneut mein Lernheft durchgelesen
> und immernoch überkommt mich das Gefühl mich im Kreis zu
> drehen.
> Ich weiß das wenn n<m ist der Grenzwert 0. Sozusagen habe
> ich jetzt immer nachgesehen ob die Potenz im Nennerpolynom
> größer ist als im Zählerpolynom. Bei Aufgabe a) sehe
> ich ja zb. dass das Nennerpolynom größer ist, also nach
> meiner Vermutung a1=b1=1. Jedenfalls habe ich das so einige
> Male in unserem Lernheft nachgelesen. Da die
> Aufgabenstellung heißt " berechnen " Sie die Grenzwerte
> komm ich einfach nicht weiter. Könntet ihr mir bitte einen
> Ansatz liefern?
>
> Grüße,
> Sebastian
Hallo Sebastian, du meinst wohl die Grenzwerte:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2+3x+4}{x^3-5}[/mm]
und
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \frac{2x^2-5x^6+4}{3x^4+6x^6}[/mm]
Wichtig: richtige Limesvariable !
Und (anstatt Bruchstriche)
wenigstens Klammern setzen.
Kürze die Brüche zuerst mit der höchsten Potenz von x,
die im Nenner vorkommt, also im ersten Beispiel:
[mm] $\frac{x^2+3x+4}{x^3-5}\ [/mm] =\ [mm] \frac{\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x}}{1-\frac{5}{x^3}}$
[/mm]
Dann kannst du für die Limesberechnung schrittweise
die Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten anwenden.
LG Al-Chw.
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Vielen Dank für deine rasche Antwort.
Also ich habe jetzt gerechnet ( auch wenn mir das mit dem Ausklammern noch etwas schleierhaft ist. ) . Mein Grenzwert bei Aufgabe a) wäre 2. Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mo 26.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen Dank für deine rasche Antwort.
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> Also ich habe jetzt gerechnet ( auch wenn mir das mit dem
> Ausklammern noch etwas schleierhaft ist. ) . Mein Grenzwert
> bei Aufgabe a) wäre 2. Ist das richtig?
Nein.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2+3x+4}{x^3-5} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}\right)}{x^3\cdot\left(1-\frac{5}{x^{3}}\right)} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}}{1-\frac{5}{x^{3}}} [/mm]
In Aufgabe b)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-5x^6+4}{3x^4+6x^6} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{-5x^{6}+2x^2+4}{6x^6+3x^4} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{6}\cdot\left(-5+\frac{2}{x^{4}}+\frac{4}{x^{6}}\right)}{x^{6}\cdot\left(6+\frac{3}{x^{2}}\right)} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{-5+\frac{2}{x^{4}}+\frac{4}{x^{6}}}{6+\frac{3}{x^{2}}} [/mm]
Lasse nun jeweils [mm] x\to\infty [/mm] laufen.
Marius
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Ach oh je, genauso hatte ich die Aufgaben auch schon auf meinem Blatt stehen, nur dachte ich es sei falsch, da ja kein "richtiges" Ergebniss, also keine ganze Zahl, bzw. ein Bruch ohne x vorkommt. Was meinst du nun mit x gegen Unendlich laufen lassen? Für X eine beliebig große bzw. kleine Zahl einsetzen und das Näherungsverhalten zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mo 26.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt doch:
[mm] \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{n}}=0 [/mm] (für [mm] n\in\IN [/mm] )
Setze diese Information mal in den Aufgaben um.
Marius
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Also da es ja heißt : = 0 , habe ich durch gleichsetzen mit Null einen Grenzwert von -4 bekommen. Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mo 26.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Also da es ja heißt : = 0 , habe ich durch gleichsetzen
> mit Null einen Grenzwert von -4 bekommen. Richtig?
Nein, du sollst nicht x=0 setzen.
Sondern nutzen, dass [mm] \frac{1}{x} [/mm] zu Null wird, wenn [mm] x\to\infty [/mm] geht.
Also:
$ [mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{-5+\frac{2}{x^{4}}+\frac{4}{x^{6}}}{6+\frac{3}{x^{2}}} [/mm] $
[mm] =\frac{-5+0+0}{6+0}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Und
$ [mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}}{1-\frac{5}{x^{3}}} [/mm] $
[mm] =\frac{0+0+0}{1-0}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Mach dir unbedigt die Grenzwertbetrachtung klar, eine gute Erklärung dazu findest du unter folgenden Links:
http://www.schulen.regensburg.de/wvsg/faecher/Grenzwerte%20bei%20rat.Funktionen/START.HTM
http://www.poenitz-net.de/Mathematik/5.Analysis/5.1.S.Grenzwerte.pdf
Marius
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Morgen,
also ist der Grenzwert bei Aufgabe a) 0 und bei Aufgabe b) 5:6 bzw. 0,83. Ich hoffe doch das stimmt jetzt endlich ;)
Übrigens danke für die beiden Links.
Grüße,
Sebastian
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Hallo Sebastian,
> Morgen,
>
> also ist der Grenzwert bei Aufgabe a) 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und bei Aufgabe b)
> 5:6 bzw. 0,83. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, du schluderst zuviel, wohin ist das Minuszeichen von der 5 im Zähler verschwunden?
Das geht gegen [mm]\red{-}\frac{5}{6}[/mm]
> Ich hoffe doch das stimmt jetzt endlich ;)
>
> Übrigens danke für die beiden Links.
>
> Grüße,
> Sebastian
Gruß
schachuzipus
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