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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen! :)
Ich habe zwei Fragen zu dieser Aufgabe und ich hoffe ihr könnt mir da etwas helfen.
Gegeben seien zwei Funktionen f, g : [c, d[ [mm] \to \IR, [/mm] die auf [c, d[ stetig und auf ]c, d[ differenzierbar sind. Wenden
Sie das Monotoniekriterium auf die Funktion g − f an, um folgende Aussage zu beweisen: Gilt f(c) [mm] \le [/mm] g(c)
und f´(x) [mm] \le [/mm] g´(x) für x [mm] \in [/mm] ]c, d[, so folgt f(x) [mm] \le [/mm] g(x) für alle x [mm] \in [/mm] [c, d[.
Verwenden Sie dieses Ergebnis auf geeigneten Teilintervallen von [mm] ]0,+\infty[, [/mm] um für den Logarithmus die Abschätzungen:
[mm] 1-\bruch{1}{x} \le [/mm] log(x) [mm] \le [/mm] x-1 für y [mm] \in [/mm] ]0, [mm] +\infty[
[/mm]
herzuleiten. Wann tritt in einer dieser Ungleichungen Gleichheit ein?
---------------------------------------------
Also die letzte Frage ist ja leicht. Die Gleichheit tritt ein bei x=1. Da steht dann 0 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 0
Aber wie soll ich denn f-g ausrechnen? Ich habe doch keine Funktionen, nur das Intervall. Und wenn ich Werte annehme, dann ist das ja kein Beweis.
Ich glaube ich kann da einfach nicht genug abstrakt denken.
Nehmen wir an es ist bewiesen, dann überprüfe ich zuerst [mm] 1-\bruch{1}{x} [/mm] mit log(x) und danach log(x) mit x-1. Dann jeweils mit Ableitung und so weiter? Denk ich da richtig?
Ich hoffe ihr könnt mir etwas unter die Arme greifen.
Viele Grüße Becks
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> Gegeben seien zwei Funktionen f, g : [c, d[ [mm]\to \IR,[/mm] die
> auf [c, d[ stetig und auf ]c, d[ differenzierbar sind.
> Wenden
> Sie das Monotoniekriterium auf die Funktion g − f
> an, um folgende Aussage zu beweisen: Gilt f(c) [mm]\le[/mm] g(c)
> und f´(x) [mm]\le[/mm] g´(x) für x [mm]\in[/mm] ]c, d[, so folgt f(x) [mm]\le[/mm]
> g(x) für alle x [mm]\in[/mm] [c, d[.
> Verwenden Sie dieses Ergebnis auf geeigneten
> Teilintervallen von [mm]]0,+\infty[,[/mm] um für den Logarithmus die
> Abschätzungen:
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> [mm]1-\bruch{1}{x} \le[/mm] log(x) [mm]\le[/mm] x-1 für y [mm]\in[/mm] ]0, [mm]+\infty[[/mm]
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> herzuleiten. Wann tritt in einer dieser Ungleichungen
> Gleichheit ein?
> ---------------------------------------------
> Also die letzte Frage ist ja leicht. Die Gleichheit tritt
> ein bei x=1. Da steht dann 0 [mm]\le[/mm] 0 [mm]\le[/mm] 0
>
> Aber wie soll ich denn f-g ausrechnen? Ich habe doch keine
> Funktionen, nur das Intervall.
Hallo,
doch, Du hast Funktionen, f und g nämlich. (Natürlich weiß ich, was Du meinst...) Diese Funktinen sind doch etwas mehr als zwei Buchstaben, denn es sind Dir oben ja noch Eigenschaften geliefert worden. Du weißt was über Stetigkeit, Diffbarkeit und sogar über die Funktionswerte an den Intervallgrenzen, das ist doch nicht so übel.
Laß uns erstmal die Logarithmusabschätzung vergessen. Das ist erst Stufe 2 der Bemühungen.
Zunächstmal sollst Du ja zeigen f [mm] \le [/mm] g.
Los geht's:
Sei f'(x) [mm] \le [/mm] g'(x) ==> 0 [mm] \le [/mm] g'(x)-f'(x)
Sei y [mm] \in [/mm] [c, d[. Jetzt wird integriert. Wegen der Monotonie des Integrals ist
0 [mm] \le \integral_{c}^{y} [/mm] {(g'(x)-f'(x)) dx}
Die Stammfkt. von f' und g' sind ja bekannt, also kannst Du das Integral nun ausrechnen. Wenn Du nun noch bedenkst, daß f(c)<g(c) ist, solltest Du das Teilziel f [mm] \le [/mm] g erreicht haben.
Jetzt vorsichtig zu Stufe 2.
> Nehmen wir an es ist bewiesen, dann überprüfe ich zuerst
> [mm]1-\bruch{1}{x}[/mm] mit log(x) und danach log(x) mit x-1. Dann
> jeweils mit Ableitung und so weiter? Denk ich da richtig?
Möglicherweise meinst Du das Richtige.
Gucken wir mal an, was abgeschätzt werden soll:
[mm][mm] 1-\bruch{1}{x} \le [/mm] log(x) [mm]\le[/mm] x-1
<==> [mm] \bruch{1}{1}-\bruch{1}{x} \le [/mm] log(1)- log(x) [mm]\le[/mm] -1-(-x).
Wenn Du jetzt die Ableitungen von [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] lnx, und -x ins Spiel bringst, ein passendes Intervall findest und Dein oben Bewiesenes anwendest, kommst Du zum Ziel.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Becks |
Erstmal Danke für deine Antwort. Werde heute nachmittag mich mal dran setzen und es nach den Anweisungen probieren ;)
Viele Grüße Becks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo!
Habe das jetzt mal durchgerechnet und es tauchen doch ein paar Fragen auf:
Bei der 1:Wenn ich das Integral ausrechne komme ich auf:
0 [mm] \le [/mm] (g(c)-f(c)) - (g(y)-f(y))
Also mit anderen Worten: Für die Funktionen f und g gilt an der kleinsten Stelle c des Definitionsbereichs: f(c) [mm] \le [/mm] g(c) und f´(x) [mm] \le [/mm] g´(x).
Ich versteh nicht so Recht, was uns das Integral bringt.
Das heißt g(c)-f(c) ist auf jeden Fall größer Null. Das bedeutet, g(y)-f(y) < g(c)-f(c). Weil sonst würde es ja negativ werden.
Oder? Ich bin glaube ich total verwirrt jetzt. Wie ziehe ich denn daraus mein Argument?
bei der 2) weiß ich nicht, warum wir da die Ableitung brauchen. :-/
Viele Grüße Becks
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> Hallo!
>
> Habe das jetzt mal durchgerechnet und es tauchen doch ein
> paar Fragen auf:
>
> Bei der 1:Wenn ich das Integral ausrechne komme ich auf:
>
Hallo,
das ist doch schon fast das Ergebnis, welches geplant war.
Der "Fehler" liegt, so vermute ich, bei den Intervallgrenzen. Sinnigerweise sollte man als obere Integrationsgrenze den größeren Wert nehmen, also y, denn y [mm] \in [/mm] [c,d[. Wenn man das so macht, kriegt man das Gewünschte,
0 [mm]\le[/mm](g(y)-f(y)) - (g(c)-f(c))
(Du hättest wegen der gegenläufigen Integrationsrichtung das <-Zeichen umdrehen müssen.) Klar, oder?
>
> bei der 2) weiß ich nicht, warum wir da die Ableitung
> brauchen. :-/
Der Hauptgrund: weil in 1) was mit Ableitung vorkommt!
Mein Schmierzettel ist nun verschwunden, aber die Sache sollte ja reproduzierbar sein. I'll do my very best:
Da stand ja 1- [mm] \bruch{1}{x} \le [/mm] lnx .
[mm] <==>-(-\bruch{1}{1})-ln1 [/mm] =1-0 [mm] \le -(-\bruch{1}{x})-lnx
[/mm]
Klingelt's schon? Nennen wir jetzt
f(x):=- [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und g(x):=lnx
es ist f(1)<g(1).
Nun die Ableitungen: [mm] f'(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] und g'(x)= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Für x [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty[ [/mm] ist f'(x) [mm] \le [/mm] g'(x).
Jetzt ist der Punkt gekommen, wo die Früchte der Mühen mit Teil1 geerntet werden: es folgt ohne weitere Anstrengungen f(x) [mm] \le [/mm] g(x), also f(1)-g(1) [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] g(x)-f(x) <==> f(1)+f(x) [mm] \le [/mm] g(1)+g(x).
Ebenso mit dem Rest der zu zeigenden Ungleichung.
Bleibt zu hoffen, daß ich jetzt keine Vorzeichen verdreht hab oder so...
Gruß v. Angela
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Hallo,
das ist beantwortet, oder?
Keine Ahnung, warum hier heute morgen noch rot leuchtet. Vielleicht war's die Katze.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Do 07.07.2005 | | Autor: | Becks |
Also mir ist es jetzt klarer. :)
Vielen lieben Dank.
Viele Grüße Becks
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