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Funktionen 2.Ordnung: Extremstellen einer Funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Do 19.02.2009
Autor: poko

Aufgabe
Man soll von der Funktion: [mm] f(x,y)=y^2-x+10 [/mm] die Extremstellen berechnen!
Nebenbedingung: [mm] x^2+y^2 \le1 [/mm]

Hey Leute!

Ich bin gerade dabei das letzte Beispiel von den Übungsbeispielen für meine Ingenieursmathe-Prüfung zu rechnen und habe da folgende Frage:

Was ich bisher gerechnet habe:
f(x)=-1
f(y)=2y   --> kein Punkt innerhalb des Kreises

L(x,y, [mm] \lambda)= y^2-x+10+\lambda*x^2+\lambda*y^2-\lambda [/mm]
[mm] L(x)=-1+2x\lambda [/mm]
[mm] L(y)=2y+2y\lambda [/mm]
[mm] L\lambda=x^2+y^2-1 [/mm]

Stimmt das und wie kann ich nun weiterrechnen?
Vielleicht kann mir da jmd. weiterhelfen!
Danke schon mal!              






Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Funktionen 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 Do 19.02.2009
Autor: abakus


> Man soll von der Funktion: [mm]f(x,y)=y^2-x+10[/mm] die
> Extremstellen berechnen!
>  Nebenbedingung: [mm]x^2+y^2 \le1[/mm]
>  Hey Leute!
>  
> Ich bin gerade dabei das letzte Beispiel von den
> Übungsbeispielen für meine Ingenieursmathe-Prüfung zu
> rechnen und habe da folgende Frage:
>  
> Was ich bisher gerechnet habe:
>  f(x)=-1
>  f(y)=2y   --> kein Punkt innerhalb des Kreises

Hallo,
das Bild des Graphen ist eine abwärts führende Rinne mit parabelförmigem Querschnitt. Die tiefsten Punkte dieser Rinne liegen auf einer Geraden in der x-z-Ebene.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Nebenbedingung: [mm]x^2+y^2 \le1[/mm] besagt, dass man nur einen kreisförmigen Ausschnitt dieser Rinne (um die z- Achse herum, Radius 1) betrachtet. Der tiefste Punkt der Rinne auf dem Rand dieses Kreises liegt bei x=1, y=0.
Das ist kein lokales, sondern ein globales Minimum.
(Das globale Maximum ist nicht ganz so leicht zu finden).
Gruß Abakus


>  
> L(x,y, [mm]\lambda)= y^2-x+10+\lambda*x^2+\lambda*y^2-\lambda[/mm]
>  
> [mm]L(x)=-1+2x\lambda[/mm]
>  [mm]L(y)=2y+2y\lambda[/mm]
>  [mm]L\lambda=x^2+y^2-1[/mm]
>  
> Stimmt das und wie kann ich nun weiterrechnen?
>  Vielleicht kann mir da jmd. weiterhelfen!
>  Danke schon mal!              
>
>
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Funktionen 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Do 19.02.2009
Autor: fred97


> Man soll von der Funktion: [mm]f(x,y)=y^2-x+10[/mm] die
> Extremstellen berechnen!
>  Nebenbedingung: [mm]x^2+y^2 \le1[/mm]
>  Hey Leute!
>  
> Ich bin gerade dabei das letzte Beispiel von den
> Übungsbeispielen für meine Ingenieursmathe-Prüfung zu
> rechnen und habe da folgende Frage:
>  
> Was ich bisher gerechnet habe:
>  f(x)=-1
>  f(y)=2y   --> kein Punkt innerhalb des Kreises

>  
> L(x,y, [mm]\lambda)= y^2-x+10+\lambda*x^2+\lambda*y^2-\lambda[/mm]
>  
> [mm]L(x)=-1+2x\lambda[/mm]
>  [mm]L(y)=2y+2y\lambda[/mm]
>  [mm]L\lambda=x^2+y^2-1[/mm]
>  
> Stimmt das und wie kann ich nun weiterrechnen?
>  Vielleicht kann mir da jmd. weiterhelfen!
>  Danke schon mal!              
>
>
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.




Finde die Punkte (x,y) mit

[mm]0=-1+2x\lambda[/mm]
[mm]0=2y+2y\lambda[/mm]
[mm]0=x^2+y^2-1[/mm]

Unter diesen Lösungen befindet sich die Stelle des Max. (Min)

FRED

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