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Hallo,
Ich bin gestern und heute ein wenig in die Funktions-Welt eingestiegen und glaube auch schon ein paar fundamentale Sachen verstanden zu haben.. hätte aber auch noch ein paar Fragen:
Erstmal ganz allgemein: Wo ist denn der Unterschied zwischen einer Funktion und einer Abbildung?
Für beides gilt aber doch auf jeden Fall dass zu jedem eingesetzten x-Wert genau ein y-Wert existiert..
Warum ist denn m [mm] \mapsto m^3
[/mm]
[mm] \IZ \to \IN
[/mm]
keine Abbildung?
Muss außerdem jeder y-Wert den man nach Einsetzen von einem x-Wert in die Funktion erhält in der Definitionsmenge sein um in der Wertemenge aufgenommen zu werden?
Dann ein wenig spezieller:
Ein Merkmal für Injektivität bei Funktionen ist doch f(x)=f(y) bzw. y=x
D.h. für jeden y-Wert (in der Zielmenge? Wertemenge?) gibt es höchstens (also einen oder keinen) x-Wert in der Definitionsmenge.
Zum einen versteh ich dann aber noch nicht genau wo da der Unterschied zu bijektiv ist da zwar zu jedem y-Wert "genau" ein x-Wert existiert.. das aber ja auch durch y=x ausgedrückt werden kann (oder hab ich da nen Denkfehler?)
..und zum anderen verstehe ich noch nicht warum [mm] y^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] nicht injektiv ist.. wenn ich jetzt die wurzel da draus ziehe steht doch +-y=+-x da...aber bedeutet das jetzt dass sich "+-" "wegkürzt" und nur noch y=x dasteht oder bedeutet das auch gleichzeitig: x=y und -x=y ..wobei in diesem fall kommt es doch auch wieder auf den Definitionsbereich an.. d.h. wenn ich den negativen BEriech ausschließe reduziere ich das ganze ja wieder auf einen Wert...
Hoffe man kann meinen vielleicht etwas verworrenen Gedankengang irgendwie nachvollziehen =)
Abschließend noch zu surjektiv:
Gibt es eine ähnliche Regel um Surjektivität nachzuweisen oder muss man immer durch einsetzen sehn obs geht oder nicht?
Würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen könnte..
Mein erster Tag hier heute =)
Danke schonmal
Marinelli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:08 So 07.11.2004 | | Autor: | trianam |
Def. Abbildung/Funktion:
Sei R eine Relation von A nach B mit der Eigenschaft:
zu jedem x [mm] \in [/mm] A gibt es genau ein y [mm] \in [/mm] B, sodass (x,y) [mm] \in [/mm] R
Dann heißt f:=(A,B,R) eine Abbildung oder Funktion von A nach B
lg trianam
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Hallo Andreas,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast ja ganz schön viele Fragen.
Also wie schon beantwortet: Funktion=Abbildung
Je nach Betrachtungsweise betont Funktion meist den Rechnungs-Charakter, z.B.
[mm]f(x)=x^2-3x-2[/mm] (man berechnet aus x eine neue Zahl, den Funktionswert)
Abbildung betont hingegen den Verwandlungs-Charakter, z.B.
[mm]f:x\mapstox^2-3x-2[/mm] (der Zahl x wird eine andere Zahl zugeordnet)
[mm]f(m)=m^3[/mm] ist eine Abbildung, aber von [mm] \IZ [/mm] nach [mm] \IZ [/mm] . Da bei der aber die Bilder bzw. Funktionswerte in [mm] \IN [/mm] liegen sollen, ist das keine solche Abbildung.
Definitionsmenge und Wertemenge haben (abgesehen von der 'vermittelnden' Funktion bzw. Abbildung) rein gar nichts miteinander zu tun. Das ist etwas schwer einzusehen, weil du nur mit Zahlen zu tun hast. Wenn du aber mal annimst:
Definitionsmenge=Weltbevölkerung
Abbildung: Mensch [mm] \mapsto [/mm] Körpergröße in cm
Dann ist die Wertemenge eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, insofern können die Elemente der Wertemenge unmöglich in der Definitionsmenge enthalten sein.
Deine Angabe von Injektivität war nicht besonders gut.
Abbildung f injektiv [mm] \gdw [/mm] f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y
Also: Sollten zwei Funktionswerte gleich sein, dann kann das bei einer injektiven Funktion nur geschehen, wenn der gleiche x-Wert eingesetzt wurde.
Die Relation [mm]x^2=y^2[/mm] ist keine Funktion, weil z.B. zu x=1 zwei mögliche y-Werte gehören. Injektiv kann die Relation auch nicht sein, weil z.B. zu y=1 zwei verschiedene x-Werte gehören. Die [mm] \pm [/mm] kann man hier nicht einfach kürzen. Es gibt zwar Schreibweisen die mit [mm]\rm2\pm4[/mm] den Ausdruck [mm]\pm6[/mm] bezeichnen und die Vorzeichen zeilenweise zusammenfassen. Das ist jedoch schlechter Stil, denn beim Ausdruck [mm]\pm x=\pm y[/mm] ist jede der vier Möglichkeiten gemeint und das ist auch mein Verständnis des [mm] \pm [/mm] -Symbols. Also kann [mm]\pm2\pm4[/mm] auch -6, -2, 2 oder 6 sein, und nicht nur -6 oder 6.
Was meinst du bei surjektiv mit gehen? Das ist ziemlich ungenau. Surjektiv ist eine Funktion f genau dann, wenn alle Elemente des Bildbereiches als Funktionswert vorkommen. Das bedeutet, du musst entweder explizit für jedes Element y des Bildbereiches oder irgendwie in allgemeiner Form ein x angeben, so dass y=f(x).
Lass den Kopf nicht hängen. Versuch doch einfach mal, deine Schwierigkeiten im Gespräch mit anderen Studenten zu klären. Du bist sicher nicht der einzige, dem die Umstellung von Schul- auf Uni-Mathematik schwer fällt. Mir ging es damals auch nicht besser.
Hugo
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Hallo Hugo
Vielen Dank für all deine Erklärungen! =)
Denke so langsam komm ich hinter das Funktionsgeheimnis..
Mittlerweile weiß ich auch schon so Dinge wie dass wenn eine Funktion surjektiv ist die Wertemenge der Zielmenge entspricht..
Habe mich gestern auch nochmal intensiver damit auseinandergesetzt..
Aber das Kriterium für Injektivität stimmt oder habe ich da was falsches verstanden?
Also: Injektiv wenn f(x) = f(y) [mm] \gdw [/mm] x=y
So kam ich nämlich bei der Funktion [mm] f(x)=9-x^2 [/mm] auch auf meine [mm] x^2 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] ... gebe zu ich hab das wirklich ein wenig chaotisch dargestellt =)
Dann hab ich da eine weitere Aufgabe entdeckt: f(x) = [mm] x^2-x
[/mm]
Wenn ich hier f(x) = f(y) setze lässt sich die Gleichung ja nicht nach x ausflösen (oder fehlten mir dazu einfach nur die benötigten rechenoperationen?)... aber das allein als Beweis gilt ja noch nicht.. Aber wie kann ich beweisen dass keine Injektivität vorliegt?
Generell frage ich mich noch ob es zum Nachweis für Surjektivität ein ähnliches generelles Verfahren wie für den der Injektivität gibt.. oder muss man hier sich jedes Beispiel im detail ansehn?
Abschließend hätte ich noch eine Frage zu Umkehrfunktionen...
Soweit ich weiß ist ja jede bijektive Funktion umkehrbar...
Da bijektiv ja bedeutet, dass sowohl surjektivität als auch injektivität vorliegt müsste es ja, um zu beweisen dass zur gegebenen Funktion keine Umkehrfunktion vorliegt, theoretisch reichen zu bewweisen dass einer der beiden Fälle nicht gegeben ist.
Z.B. [mm] \IR{\1} [/mm] --> [mm] \IR{\1} [/mm] f(x)=(x+1)/(x-1)
Wenn ich jetzt das ganze auf Surjektivität prüfe und für y=1 einsetze ergibt sich:
(x+1)=(x-1) [mm] \gdw [/mm] 0=2
Somit wäre bewiesen dass keine Surjektivität vorliegt - also auch keine Bijektivität und es somit auch keine Umkehrfunktion geben kann stimmts?
Und ein adereres Kriterium wäre doch unabhängig davon, dass der Graph der obigen Funktion weder streng monoton steigt noch streng monoton fällt... es aber nur für streng monotone, bijektive Graphen eine Umkehrfunktion gibt..
Fragen über Fragen =)
Hoffe ich nerve nicht allzu sehr wenn ja sagts mir bitte =)
Aber ich habe grade so ein Gefühl dass ich der Sache auf den Grund komme und deswegen macht es grade fast ein wenig Spaß =)
D.h. wenn ich jetzt in meinen Theorien hier bestätigt werde =)
Also vielen Dank schonmal
Bis bald
Marinelli
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Hallo Andreas,
1.
deine Ansicht von injektiv ist richtig. Allerdings gilt sowieso immer [mm]x=y \Rightarrow f(x)=f(y)[/mm] Deswegen genügt es, bei einer Funktion zu fordern, dass [mm]f(x)=f(y) \Rightarrow x=y[/mm]. Das führt zu deinem Ausdruck mit der Äquivalenz, der aber -wie gesagt- nicht falsch ist.
2.
Quadratische Funktionen sind nie injektiv, denn abgesehen vom Scheitel wird die ganze Wertemenge doppelt getroffen. Am besten widerlegst du die Injektivität einer Funktion, indem du explizit zwei x-Werte (d.h. Urbilder) angibst, die denselben Funktionswert haben.
Die Funktion [mm]x^2-x[/mm] hat ja zwei Nullstellen, bei 0 und bei 1. Es gibt für den Funktionswert 0 demzufolge zwei x-Wert. Damit ist die Injektivität beim Teufel.
3.
Deine gebrochen rationale Funktion ist, wie du richtig erkannt hast, nicht surjektiv. Eben genau deswegen, weil es mindestens ein Element in der Zielmenge gibt, das kein Funktionswert ist. Konkret:
[mm]\not\exists x:f(x)=1[/mm] oder äquivalent dazu [mm]\forall x:f(x)\not=1[/mm]. Das hast du gezeigt.
4.
Du nervst uns nicht.
Hugo
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