Funktionen bestimmen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Loon |
| Aufgabe | Ein Behälter aus Blech, dessen Fassungsvermögen 600l beträgt, soll die Form eines Zylinders mit unten angesetzter Halbkugel haben.
a) Wie ist die Form des Behälters zu wählen, das heißt, in welchem Verhältnis stehen Radius r und Höhe h wenn ein Minimum an Blech verbraucht werden soll?
b) Wie hoch sind die Materialkosten, wenn 1m² Blech 101,80 kostet?
c) Wie viel Blech benötigt man, wenn Durchmesser und Höhe des Zylinders gleich sein sollen? Um wie viel erhöhen sich dabei die Materialkosten? |
Hallo,
Ich habe hier ein ziemliches Problem und hoffe, dass mir jemand damit helfen kann! Ich habe absolut keine Ahnung, was bei der obigen Aufgabe gemacht werden muss...worauf zielt sie überhaupt ab? In letzter Zeit haben wir uns in Mathe sowohl mit analytischer Geometrie als auch mit Taylornäherungen beschäftigt und ich kann diesen Aufgabentyp weder dem einen noch dem anderen Thema zuordnen.
Wir haben in der Schule folgendes zu Teilaufgabe a) aufgeschrieben:
V = 600l
Oberfläche Halbkugel = [mm] 2*\pi*r²
[/mm]
Oberfläche Zylinder = [mm] 2*\pi*r*h
[/mm]
[mm] V=\bruch{2}{3}\pi*r³+\pi*r²h=600
[/mm]
[mm] \pi*r²*h=600-\bruch{2}{3}\pi*r³
[/mm]
[mm] h=\bruch{600-\bruch{2}{3}\pi*r³}{\pi*r²}
[/mm]
Ja, das wärs und leider kann ich damit überhaupt nichts anfangen...
Mit den anderen Teilaufgaben entsprechend auch nicht...
Es tut mir wirklich Leid, wenn ich diese Aufgabe in einem falschen Forum gepostet habe!! Trotzdem würde ich mich über Tipps freuen!
Lg, Loon
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Ich habe die Aufgabe mal weitergerechnet und komme auf folgende Ergebnisse
[mm] h=\frac{600}{\pi r^2}-\frac{2}{3}r
[/mm]
und nach Einsetzen in die Haupbedingung und ergibt sich als Extremum
[mm] r=\sqrt[3]{\frac{900}{\pi}}.
[/mm]
Wenn ich das dann aber in die Formel für h einsetze, dann ergibt sich h=0.
Meine Fragen daher:
1) Habe ich mich verrechnet?
2) Würde das bedeuten, dass, das Volumen am größten ist, wenn nur die Halbkugel da ist, denn die Höhe des Zylinders wäre ja 0.
3) Ergibt die Frage nach dem Verhältnis von r zu h in der Aufgabenstellung dann überhaupt Sinn?
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Sa 10.06.2023 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe die Aufgabe mal weitergerechnet und komme auf
> folgende Ergebnisse
> [mm]h=\frac{600}{\pi r^2}-\frac{2}{3}r[/mm]
> und nach Einsetzen in
> die Haupbedingung und ergibt sich als Extremum
> [mm]r=\sqrt[3]{\frac{900}{\pi}}.[/mm]
> Wenn ich das dann aber in die Formel für h einsetze, dann
> ergibt sich h=0.
Kein Wunder, denn Du hast die Nullstelle von h berechnet .
Aber wozu ??
Gruß Fred
> Meine Fragen daher:
> 1) Habe ich mich verrechnet?
> 2) Würde das bedeuten, dass, das Volumen am größten
> ist, wenn nur die Halbkugel da ist, denn die Höhe des
> Zylinders wäre ja 0.
> 3) Ergibt die Frage nach dem Verhältnis von r zu h in der
> Aufgabenstellung dann überhaupt Sinn?
> Vielen Dank schonmal
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Ich weiß nicht, was du gerechnet hast und ob Fred Recht hat, aber h=0 ist richtig. Das liegt - allgemein betrachtet - an folgender Tatsache:
Von allen geschlossenen Körpern, die ein vorgegebenes Volumen haben, hat die Kugel die kleinste Oberfläche. Das ist einleuchtend und kann auch mathem. bewiesen werden.
Von allen oben offenen Körpern, die ein vorgegebenes Volumen haben, hat deshalb die Halbugel die kleinste Oberfläche.
Begründung: Hätte eine Halbkugel mit - sagen wir mal gleich hohem aufgesetzten Zylinder - die kleinste Oberfläche, könnte man zwei davon nehmen, die zweite umgekehrt auf die erste kleben, und dann hätte diese Form die kleinste Oberfläche für das doppelte Volumen und nicht eine Kugel.
Fazit: Das ganze Gebilde ist nur eine Halbkugel ohne aufgesetzten Zylinder.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 So 11.06.2023 | | Autor: | statler |
Hi,
der Frager tut leider nicht kund, ob er h(r) = 0 nach r aufgelöst hat oder O'(r) = 0. Fred vermutet anscheinend ersteres, aber die zweite Gl. wäre die richtige, es ergibt sich dann in beiden Fällen aus geometrischen Gründen dieselbe Lösung.
Das zeigt mal wieder, daß ein begründender Text ein wichtiger Bestandteil der Lösung ist; wird heutzutage leider vernachlässigt.
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Loon!
Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung. Es soll hier die Oberfläche des Körpers minimert werden.
Die entsprechende Formel lautet:
[mm] $$\text{Oberfläche} [/mm] \ = \ O(r,h) \ = \ [mm] O_{\text{Halbkugel}}+O_{\text{Zylinder}} [/mm] \ = \ [mm] 2*\pi*r^2+2*\pi*r*h [/mm] \ = \ [mm] 2*\pi*r*(r+h)$$
[/mm]
Da wir hier aber noch zwei Variablen in der Funktion haben, müssen wir die gegebene Nebenbedingung mit dem Volumen beachten. Dafür stellen wir die Volumenformel nach $h \ = \ ...$ um, und setzen diesen Term in die Oberflächenformel ein.
[mm] $$\text{Volumen} [/mm] \ = \ V(r,h) \ = \ [mm] V_{\text{Halbkugel}}+V_{\text{Zylinder}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\pi*r^3+\pi*r^2*h [/mm] \ = \ 600$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ h \ = \ [mm] \bruch{600-\bruch{2}{3}*\pi*r^3}{\pi*r^2}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ \ O(r) \ = \ [mm] 2*\pi*r*(r+\blue{h}) [/mm] \ = \ [mm] 2*\pi*r*\left(r+\blue{\bruch{600-\bruch{2}{3}*\pi*r^3}{\pi*r^2}}\right) [/mm] \ = \ ...$$
Nun also die Extremwerte bestimmen, indem Du die Nullstellen der 1. Ableitung ermittelst.
Gruß
Loddar
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