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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Di 08.12.2009 | | Autor: | jan_333 |
| Aufgabe | a)
Gegeben sei: [mm] f(x)=1-\bruch{2}{x-4}
[/mm]
- Bestimmen Sie den Defintionsbereich von f .
- Bestimmen Sie den Wertebereich von f .
- Wie lautet die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] ?
- Welchen Defintionsbereich hat die Umkehrfunktion?
- Fertigen Sie eine Skizze des Funktionsgraphen an.
b)
Gegeben sei: [mm] g(x)=-\wurzel{2-x^{2}}
[/mm]
- Bestimmen Sie den Defintionsbereich von f .
- Bestimmen Sie den Wertebereich von f .
- Wie lautet die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] ?
- Welchen Defintionsbereich hat die Umkehrfunktion?
- Fertigen Sie eine Skizze des Funktionsgraphen an. |
Hallo,
ich muss hier diese beiden Aufgaben machen. Ich hab schon einiges gemacht, weiß aber nicht genau, wie ich das Ergebnis darstellen soll.
Hab mir bis jetzt nur Aufgabe 1 angeschaut, dort eine Skizze gemacht, sodass ich eine Vorstellung vom Graphen habe. Nun möchte ich den Defintionsbereich und den Wertebereich bestimmen. Gibt es da bestimmte Vorgehensweisen, die man beachten muss? Ich habs mir einfach angeschaut und bin zum Schluss gekommen, das der Definitionsbereich von [mm] -\infty [/mm] bis 4 und von 4 bis [mm] \infty. [/mm] Nur bei 4 ist die Funktion nicht definiert. Wenn das nun richtig ist, wie muss ich dann das Ergebnis hinschreiben?
Als Wertebereich habe ich von 1 bis [mm] \infty [/mm] und von 1 bis [mm] -\infty. [/mm] Stimmt das? Auch hier, wie muss ich das Ergebnis aufschreiben?
Nun muss ich noch die Umkehrfunktion ausrechnen. WIe geht das?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke
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Hallo!
Werte- und Definitionsbereiche kann man auf verschiedene Weisen darstellen.
Hier mal Beispiele für verschiedene Schreibweisen:
[mm] \mathbb{D}=\IR\textbackslash5 [/mm] ("Alle Reellen Zahlen ohne 5")
Folgendes ist das gleiche wie oben, aber ziemlich unhandlich:
[mm] \mathbb{D}=\{x|x\neq 5, x\in\IR\} [/mm] ("Die Menge aller Zahlen, die nicht gleich 5 sind, und gleichzeitig reell sind")
Das benutzt man eher für sowas:
[mm] \mathbb{D}=\{x|x\ge5, x\in\IR\} [/mm] ("Die Menge aller Zahlen, die größer gleich 5 sind, und gleichzeitig reell sind")
Hinter dem senkrechten Strich stehen also Bedingungen an das, was vor dem Strich steht.
Das Komma trennt Bedingungen, die erfüllt sein müssen, man kann aber auch mit dem UND [mm] ($\wedge$) [/mm] und ODER [mm] ($\vee$) [/mm] argumentieren:
[mm] \mathbb{D}=\{x|(x\ge5 \vee y\le 2), x\in\IR\} [/mm] ("Die Menge aller Zahlen, die größer gleich 5 ODER kleiner gleich 2 sind, und gleichzeitig reell sind")
Oft hat man sich auch aufspezielle Abkürungen geeinigt, z.B. sind [mm] \IR^+ [/mm] alle positiven reellen Zahlen.
Vielleicht nochmal eine für dich exotische Menge:
[mm] $B=\{(x,y)|y=x^2, \ x,y\in\IR\}$
[/mm]
Das kann man als Menge von Koordinaten betrachten, die alle auf einer Parabel liegen.
Zur Umkehrfunktion:
Dafür muß du $ [mm] y=1-\bruch{2}{x-4} [/mm] $ nach x auflösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Di 08.12.2009 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die schnelle Antwort.
Laut deiner Erklärung müsste ich für Aufgabe a als Definitionsbereich $ [mm] \mathbb{D}=\IR\textbackslash4 [/mm] $ angeben. Wie ist das beim Wertebereich? Anstatt D ein W und anstatt x ein f(x)?
Bei Aufgabe 2 geht der Definitionsbereich von [mm] -\wurzel{2} [/mm] bis [mm] \wurzel{2}. [/mm] Wie gebe ich das an?
Etwa so? $ [mm] \mathbb{D}=\{x|-\wurzel{2}\le x \le\wurzel{2}, x\in\IR\} [/mm] $
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Hallo,
a)
Definitionsbereich korrekt,
b)
Definitionsbereich korrekt
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 08.12.2009 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die schnelle Antwort.
Laut Erklärung von Event_Horizon muss ich die Funktion nach x auflösen um die Umkehrfunktion zu erhalten. Ich hab das mal bei Aufgabe a ausprobiert und da kam [mm] f^{-1}(x)=5-\bruch{2}{y} [/mm] raus. Ist das richtig? Wenn ja, da wird das bei der Aufgabe b komplizierter, da ich da einen Bruch habe. ich habe da [mm] f^{-1}(x)=\wurzel{y^{2}+2} [/mm] rausbekommen.
Außerdem weiß ich leider noch nicht genau, wie ich den Wertebereich darstelle? ich würde bei Aufgabe a den Wertebereich so hin schreiben: $ [mm] \mathbb{W}=\IR\textbackslash1 [/mm] $
Ist das richtig?
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Hallo jan_333,
> Danke für die schnelle Antwort.
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> Laut Erklärung von Event_Horizon muss ich die Funktion
> nach x auflösen um die Umkehrfunktion zu erhalten. Ich hab
> das mal bei Aufgabe a ausprobiert und da kam
> [mm]f^{-1}(x)=5-\bruch{2}{y}[/mm] raus. Ist das richtig? Wenn ja, da
Die Umkehrfunktion mußt Du nochmal nachrechnen.
> wird das bei der Aufgabe b komplizierter, da ich da einen
> Bruch habe. ich habe da [mm]f^{-1}(x)=\wurzel{y^{2}+2}[/mm]
> rausbekommen.
Das ist hier nur die Umkehrfunktion für [mm]x \ge 0[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Außerdem weiß ich leider noch nicht genau, wie ich den
> Wertebereich darstelle? ich würde bei Aufgabe a den
> Wertebereich so hin schreiben:
> [mm]\mathbb{W}=\IR\textbackslash1[/mm]
Genau genommen:
[mm]\mathbb{W}=\IR \setminus \left\{1\right\}[/mm]
> Ist das richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Mi 09.12.2009 | | Autor: | jan_333 |
Hab die Umkehrfunktion von Aufgabe a nochmal gerechnet: [mm] f^{-1}(x)=1-\bruch{1}{y}. [/mm] Der Definitionsbereich müsste $ [mm] \mathbb{D}=\IR\textbackslash0 [/mm] $ sein.
Bei Aufgabe b weiß ich nicht wie ich die Umkehrfunktion für alle x rausbekommen soll. In f(x) spielt es ja keine Rolle, ob x > oder < 0 ist. Wo liegt also der Fehler in meiner Rechnung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:39 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Jan,
> Hab die Umkehrfunktion von Aufgabe a nochmal gerechnet:
> [mm]f^{-1}(x)=1-\bruch{1}{y}.[/mm] Der Definitionsbereich müsste
> [mm]\mathbb{D}=\IR\textbackslash0[/mm] sein.
könntest du bitte einmal deine Rechenschritte posten - da stimmt was nicht.
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 09.12.2009 | | Autor: | jan_333 |
Da hab ich was falsch gemacht, bei der Rechnung. Ich habs jetzt nochmal anders gerechnet:
[mm] y=1-\bruch{2}{x-4}
[/mm]
[mm] 1-y=\bruch{2}{x-4}
[/mm]
2=(1-y)*(x-4)
2=x-4-xy+4y
Und da komm ich nicht weiter, sind meine Rechenschritte richtig? Wenn ja, was muss ich als Nächstes machen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mi 09.12.2009 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die Antwort.
Ich habe jetzt [mm] f^{-1}(x)=\bruch{6-4x}{1+x} [/mm] raus?
$ [mm] \mathbb{D}=\IR\textbackslash-1 [/mm] $
Stimmts jetzt?
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Hallo, in den Nenner gehört 1-x, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 09.12.2009 | | Autor: | jugliema |
Hallo, ich habe folgendes Ergebis für die Umkehrfunktion raus.
[mm]f^{-1}(x)= \bruch{2}{1-y+4}.[/mm].
Ist das richtig??
Definitionsbereich: D (f(x))= [mm] \IR\{5}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 09.12.2009 | | Autor: | jugliema |
Hallo wie schreibt man den den Wertebereich für die b).
Der Wertebereicht liegt meines Erachtens bei
[mm] -\wurzel{2} [/mm] bis -1 und [mm] -\wurzel{2} [/mm] bis -1 .
wie schreibe ich das hin???
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> Hallo wie schreibt man den den Wertebereich für die b).
>
> Der Wertebereicht liegt meines Erachtens bei
> [mm]-\wurzel{2}[/mm] bis -1 und [mm]-\wurzel{2}[/mm] bis -1 .
>
> wie schreibe ich das hin???
>
>
hallo,
da steht ja nun 2 mal dasselbe?
und ein blick auf nen plotter sagt mir, dass der wertebereich so nicht ganz stimmt!
und wie man sowas nun notiert wurde ja öfters geschrieben! 
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![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
