Funktionenabbildung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 So 19.07.2009 | | Autor: | martin2 |
| Aufgabe | Sei [mm] g:C([a,b])\to \IR
[/mm]
f [mm] \to \integral_{a}^{b}{f(x)h(x) dx}
[/mm]
zu zeigen g stetig.
nun ich denke, dass ich diese Aufgabe richtig gelöst habe, aber bin mir noch nicht ganz sicher.
wenn ich nun stetigkeit zeigen möchte, betrachte ich dann
d(f,g)< [mm] \delta
[/mm]
oder
[mm] d(f(x),f(x_{0}) [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
??
ich denke zwar ersteres aber dieses kommt mir eher analog zur gleichmäßigen stetigkeit vor, daher bin ich etwas verunsichert. |
hallo, ich habe eine frage bezüglich der stetigkeit von funktionenabbildungen, denke in der aufgabenstellung wird meine frage klar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Es hängt alles davon ab, welche Metrik du auf [mm]C([a,b])[/mm] und [mm] $\IR$ [/mm] verwenden sollst. Üblicherweise benutzt man auf [mm]C([a,b])[/mm] die von der Supremums-Norm [mm] $\|f\|_\infty:=\max_{\xi\in[a,b]}|f(\xi)$ [/mm] induzierte Metrik und auf [mm]\IR[/mm] die Standart-Betragsmetrik, aber es gibt natürlich unendlich viele Möglichkeiten. Im Fall der Supremums-Norm musst du also zeigen [mm] $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall f,\tilde{f}\in C([a,b]):\|f-\tilde{f}\|_\infty\le\delta\Rightarrow|g(f)-g(\tilde{f})|\le\varepsilon$$ [/mm] Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 So 19.07.2009 | | Autor: | Merle23 |
Zusätzlich zu dem was Robert schon gesagt hat:
(i) Du hast eine lineare Abbildung, d.h. du kannst die Stetigkeit auch über die Beschränktheit zeigen (falls ihr diese Charakterisierung der Stetigkeit linearer Abbildungen schon hattet).
(ii) Sind irgendwelche Informationen bzgl. der Funktion h gegeben, z.B. Stetigkeit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 So 19.07.2009 | | Autor: | martin2 |
hallo,
danke für die schnelle hilfe, aber meine frage bezog sich wirklich nur darauf was ich in die delta umgebung setzen muss, ob zwei unterschiedliche Funktionen oder eine abzubildende Funktion an 2 versch. Punkten und ich glaube nun daraus schlau geworden zu sein, dass es ersteres ist, alles weitere ist mir klar. Hoffe das ist jetzt so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> danke für die schnelle hilfe, aber meine frage bezog sich
> wirklich nur darauf was ich in die delta umgebung setzen
> muss, ob zwei unterschiedliche Funktionen oder eine
> abzubildende Funktion an 2 versch. Punkten und ich glaube
> nun daraus schlau geworden zu sein, dass es ersteres ist,
> alles weitere ist mir klar. Hoffe das ist jetzt so richtig?
Ja.
Gruß, Robert
|
|
|
|
