Funktionenfole; gleichm. Konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 So 16.02.2020 | | Autor: | nosche |
| Aufgabe | Untersuche auf gleichmäßige Konvergenz für x [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] f_n(x)=\bruch {1}{1+nx^2+n^2x^4} [/mm] |
Hallo Wissende,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \mbox{ x=0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ <=-1 oder x>=1} \\ ?0?, & \mbox{für } |x| \mbox{ <1 und x!=0} \end{cases}
[/mm]
mit dem letzten Teil hab ich Probleme. Ein Plot der Funktion (Anhang)für n=1,2,3,4 legt nahe, dass dort [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=f(x)=0 [/mm] ist.
Zu zeigen wäre: [mm] |f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-0|=|f_n(x)|< \varepsilon
[/mm]
[mm] \vmat{\bruch {1}{1+nx^2+n^2x^4}} [/mm] = [mm] \bruch {1}{1+nx^2+n^2x^4}=\bruch {1}{1+nx^2(1+nx^2)}
[/mm]
ich scheitere daran, nachzuweisen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*\limes_{x\rightarrow 0}x^2=\infty [/mm] für alle |x|<1 und x!=0
hoffend nosche
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hiho,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \mbox{ x=0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ <=-1 oder x>=1} \\ ?0?, & \mbox{für } |x| \mbox{ <1 und x!=0} \end{cases}[/mm]
Ja, es ist $f(x) = [mm] \delta_0(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & \text{ sonst } \end{cases}$
[/mm]
> Zu zeigen wäre: [mm]|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-0|=|f_n(x)|< \varepsilon[/mm]
Für jedes feste $x$!
> ich scheitere daran, nachzuweisen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*\limes_{x\rightarrow 0}x^2=\infty[/mm]
> für alle |x|<1 und x!=0
Wo kommt das [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}$ [/mm] her? Das hat da nix zu suchen.
Es ist zu zeigen, für [mm] $x\not=0$, [/mm] dass gilt: [mm] $\lim_{n\to\infty} f_n(x) [/mm] = 0$
Wie du siehst, kein [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}$ [/mm]
Dafür brauchst du also nur [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*x^2=\infty[/mm] für [mm] $x\not=0$.
[/mm]
Das das gilt, ist dir hoffentlich klar.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 16.02.2020 | | Autor: | nosche |
> Für jedes feste [mm]x[/mm]!
> Wo kommt das [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] her? Das hat da nix
> zu suchen.
> Dafür brauchst du also nur
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*x^2=\infty[/mm] für [mm]x\not=0[/mm].
>
Danke Gono
Da hatte ich wohl einen riesigen Denkfehler
> Das das gilt, ist dir hoffentlich klar.
Oh weh, nein (Trivialitäten sind für mich ein anderes Wort für "der reine Horror")
Ich würde das "hoffentlich kar" so begründen:
x ist fest, und damit konstant, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n = [mm] \infty. [/mm] Und [mm] \infty*Konstante=\infty [/mm]
bitte mach, dass das stimmt
nosche
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Hiho,
> x ist fest, und damit konstant,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n = [mm]\infty.[/mm] Und
> [mm]\infty*Konstante=\infty[/mm]
Fast.
Das gilt natürlich nur, falls die Konstante positiv ist, was hier aber wegen $x [mm] \not=0$ [/mm] der Fall ist.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 So 16.02.2020 | | Autor: | nosche |
> Hiho,
hallo Gono,
danke für den letzten Schliff
> Fast.
> Das gilt natürlich nur, falls die Konstante positiv ist,
> was hier aber wegen [mm]x \not=0[/mm] der Fall ist.
>
vg
nosche
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