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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 So 24.01.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Funktionenfolge [mm] f_{n}: [/mm] I [mm] \to \IR; f_{n}(x)=x^{n} [/mm] für
a) [mm] I_{1}=[0,1]
[/mm]
b) [mm] I_{2}=[0,1)
[/mm]
gleichmäßig gegen [mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x) [/mm] konvergiert.
c) Konvergiert die Funktionenreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_{n} [/mm] für [mm] I_{2}
[/mm]
(i) punktweise?
(ii) gleichmäßig? |
Zu a) und b) würde ich nein sagen, aber bei b) bin ich mir nicht so sicher. Kann man argumentieren, dass man x wählen kann als [mm] x=1-\bruch{1}{n} [/mm] und dann ist [mm] |f(x)-f_{n}(x)|\not=0
[/mm]
Für glm. Konvergenz muss nämlich gelten: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup|f(x)-f_{n}(x)|=0
[/mm]
Konvergiert die Reihe für alle x laut Wurzelkriterium?
lim [mm] sup(\wurzel[n]{x^{n}})=x<1 [/mm] da [mm] x\in[0,1)
[/mm]
[mm] n\to\infty
[/mm]
Aber wie ist das mit gleichmäßiger Konvergenz bei der Reihe? Wie man das zeigt oder widerlegt, weiß ich nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 So 24.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuchen Sie, ob die Funktionenfolge [mm]f_{n}:[/mm] I [mm]\to \IR; f_{n}(x)=x^{n}[/mm]
> für
> a) [mm]I_{1}=[0,1][/mm]
> b) [mm]I_{2}=[0,1)[/mm]
> gleichmäßig gegen
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)[/mm] konvergiert.
>
> c) Konvergiert die Funktionenreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}[/mm] für [mm]I_{2}[/mm]
> (i) punktweise?
> (ii) gleichmäßig?
> Zu a) und b) würde ich nein sagen, aber bei b) bin ich
> mir nicht so sicher. Kann man argumentieren, dass man x
> wählen kann als [mm]x=1-\bruch{1}{n}[/mm] und dann ist
> [mm]|f(x)-f_{n}(x)|\not=0[/mm]
Nein.
> Für glm. Konvergenz muss nämlich gelten:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup|f(x)-f_{n}(x)|=0[/mm]
Überlege dir doch erst einmal wie der punktweise Limes [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)[/mm] aussieht. Dann kannst du nämlich diese Bedingung mit dem Supremum leichter formulieren.
> Konvergiert die Reihe für alle x laut Wurzelkriterium?
> lim [mm]sup(\wurzel[n]{x^{n}})=x<1[/mm] da [mm]x\in[0,1)[/mm] [mm]n\to\infty[/mm]
Da steht der normale Limes ohne Supremum. Sonst ist das Argument richtig: die Reihe konvergiert auf jeden Fall punktweise auf $[0,1)$.
> Aber wie ist das mit gleichmäßiger Konvergenz bei der
> Reihe? Wie man das zeigt oder widerlegt, weiß ich nicht.
Die Reihe konvergiert gleichmäßig, wenn die Folge der Partialsummen [mm] $s_k=\summe_{n=1}^{k}f_{n}$ [/mm] gleichmäßig konvergiert. Wie sieht diese Folge aus?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mi 27.01.2010 | | Autor: | valoo |
> > Aber wie ist das mit gleichmäßiger Konvergenz bei der
> > Reihe? Wie man das zeigt oder widerlegt, weiß ich nicht.
>
> Die Reihe konvergiert gleichmäßig, wenn die Folge der
> Partialsummen [mm]s_k=\summe_{n=1}^{k}f_{n}[/mm] gleichmäßig
> konvergiert. Wie sieht diese Folge aus?
Die Folge der Partialsummen lässt sich auch als [mm] \bruch{x^{n-1}-x}{x-1} [/mm] darstellen (laut wolframalpha). Kann ich damit irgendwie zeigen, dass (bzw. widerlegen, dass) die Folge der Partialsummen eine Cauchyfolge bezüglich der Supremumsnorm ist?
Also [mm] ||\bruch{x^{n+1}-x^{m+1}}{x-1}||<\varepsilon [/mm]
[mm] \forall n,m\ge N_{0}
[/mm]
Wenn das Teil nicht gleichmäßig konvergent ist, was ich vermute (ist doch hoffentlich so, oder???), dann müsste auch zu [mm] \varepsilon=1 [/mm] so ein [mm] N_{0} [/mm] existieren, sodass die Aussage wahr ist. Ich habe versucht, das zum Widerspruch zu führen, ich kriegs aber nicht hin.
Ist das Teil wohlmöglich doch gleichmäßig konvergent?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mi 27.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > > Aber wie ist das mit gleichmäßiger Konvergenz bei der
> > > Reihe? Wie man das zeigt oder widerlegt, weiß ich nicht.
> >
> > Die Reihe konvergiert gleichmäßig, wenn die Folge der
> > Partialsummen [mm]s_k=\summe_{n=1}^{k}f_{n}[/mm] gleichmäßig
> > konvergiert. Wie sieht diese Folge aus?
>
> Die Folge der Partialsummen lässt sich auch als
> [mm]\bruch{x^{n-1}-x}{x-1}[/mm] darstellen (laut wolframalpha).
Das ist doch eine endliche geometrische Summe, da braucht mensch kein Wolfram Alpha dafür.
> Kann
> ich damit irgendwie zeigen, dass (bzw. widerlegen, dass)
> die Folge der Partialsummen eine Cauchyfolge bezüglich der
> Supremumsnorm ist?
>
> Also [mm]||\bruch{x^{n+1}-x^{m+1}}{x-1}||<\varepsilon[/mm]
> [mm]\forall n,m\ge N_{0}[/mm]
Da $x=1$ eine Nullstelle des Polynoms im Zähler ist, kannst du den Burch durch Polynomdivision exakt teilen. Aber das ist überhaupt nicht nötig. O.B.d.A. sei $n>m$ und dann ist dieser Bruch gleich
[mm] s_n-s_m = \summe_{k=m+1}^{n} f_k(x) = x^{m} \summe_{k=1}^{n} x^n [/mm]
Nun schätze das für [mm] $0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ ab.
> Wenn das Teil nicht gleichmäßig konvergent ist, was ich
> vermute (ist doch hoffentlich so, oder???), dann müsste
> auch zu [mm]\varepsilon=1[/mm] so ein [mm]N_{0}[/mm] existieren, sodass die
> Aussage wahr ist.
Keine Ahnung, was du damit sagen willst. Meinst du $x=1$?
Viele Grüße
Rainer
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