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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mo 15.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{n!}*x^{n} [/mm] |
Hallo,
ich möchte den Konvergenzradius der obigen Potenzreihe bestimmen. Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{n!}*x^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}*x^{n}}{n!}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\bruch{\bruch{(n+1)^{(n+1)}*x^{(n+1)}}{(n+1)!}}{\bruch{n^{n}*x^{n}}{n!}}| [/mm] = [mm] |\bruch{(n+1)^{(n+1)}*x^{(n+1)}}{(n+1)!}*\bruch{n!}{n^{n}x^{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{(n+1)^{(n+1)}*x^{n}*x*n!}{n!*(n+1)*n^{n}*x^{n}} [/mm] | = | [mm] \bruch{(n+1)^{n}*(n+1)*x}{(n+1)*n^{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{(n+1)^{n}*x}{n^{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{n*(1+\bruch{1}{n})^{n}*x}{n*(1)^{n}}| [/mm] = [mm] |(1+\bruch{1}{n})^{n}*x|
[/mm]
Und das geht ja dann gegen die zahl des heutigen geburtstagskindes euler :-D. oder???
Ist das richtig so?
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Fulla |
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{n!}*x^{n}[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte den Konvergenzradius der obigen Potenzreihe
> bestimmen. Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{n!}*x^{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}*x^{n}}{n!}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |\bruch{\bruch{(n+1)^{(n+1)}*x^{(n+1)}}{(n+1)!}}{\bruch{n^{n}*x^{n}}{n!}}|[/mm]
> =
> [mm]|\bruch{(n+1)^{(n+1)}*x^{(n+1)}}{(n+1)!}*\bruch{n!}{n^{n}x^{n}}|[/mm]
> = [mm]|\bruch{(n+1)^{(n+1)}*x^{n}*x*n!}{n!*(n+1)*n^{n}*x^{n}}[/mm] |
> = | [mm]\bruch{(n+1)^{n}*(n+1)*x}{(n+1)*n^{n}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{(n+1)^{n}*x}{n^{n}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{n*(1+\bruch{1}{n})^{n}*x}{n*(1)^{n}}|[/mm] =
> [mm]|(1+\bruch{1}{n})^{n}*x|[/mm]
>
> Und das geht ja dann gegen die zahl des heutigen
> geburtstagskindes euler :-D. oder???
>
> Ist das richtig so?
Ja. Beachte aber, dass die Reihe nur konvergiert, wenn der Ausdruck kleiner als 1 ist, d.h. wenn [mm]\lim_{n\to\infty}\left|\left(1+\frac 1n\right)^n\cdot x\right|<1[/mm]. Der Konvergenzradius ist also [mm]\frac 1e[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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