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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Fr 06.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] f_{n}:(0; \infty) \rightarrow \IR; [/mm] x [mm] \rightarrow x+\bruch{1}{n} [/mm] |
Hallo,
ich möchte für obige Funktionenfolge die glm. bzw. punktw. konv. zeigen.
ich würde das zunächst so machen:
[mm] \lin_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} x+\bruch{1}{n}=x
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] ist punktw. konv.
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in (0; \infty)} |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in (0; \infty)} |(x+\bruch{1}{n})-x| [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in (0; \infty)} \bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] ist glm. konv.
Ich habe noch ein paar Fragen zu Funktionenfolgen:
Berechne ich bei der glm. konv. beim [mm] \sup [/mm] das [mm] \sup [/mm] von dem was im betrag steht oder von der ursprünglichen [mm] f_{n} [/mm] Funktion????
Darf ich das [mm] \sup [/mm] einfach weglassen wie im obigen bsp wenn im Betrag kein x mehr steht???
Kennt ihr irgendwelche Übungsblätter über Funktionenfolgen im internet? evtl. mit Lösungen? Das ich noch paar Aufgaben üben kann...
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Fr 06.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f_{n}:(0; \infty) \rightarrow \IR;[/mm] x [mm]\rightarrow x+\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich möchte für obige Funktionenfolge die glm. bzw.
> punktw. konv. zeigen.
>
> ich würde das zunächst so machen:
>
> [mm]\lin_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} x+\bruch{1}{n}=x[/mm]
Klammern nicht vergessen:
[mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} (x+\bruch{1}{n})=x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] ist punktw. konv.
Besser: [mm] (f_n) [/mm] konv. punkzweise auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] gegen die Grenzfunktion f, wobei f(x)=x.
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in (0; \infty)} |f_{n}(x)-f(x)|[/mm]
> = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in (0; \infty)} |(x+\bruch{1}{n})-x|[/mm]
> = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in (0; \infty)} \bruch{1}{n}[/mm]
> = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] ist glm. konv.
Ja, aber schreibe:
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] gleichmäßig.
>
> Ich habe noch ein paar Fragen zu Funktionenfolgen:
>
> Berechne ich bei der glm. konv. beim [mm]\sup[/mm] das [mm]\sup[/mm] von dem
> was im betrag steht oder von der ursprünglichen [mm]f_{n}[/mm]
> Funktion????
Du berechnest das Supremum von [mm] |f_n(x)-f(x)|
[/mm]
>
> Darf ich das [mm]\sup[/mm] einfach weglassen wie im obigen bsp wenn
> im Betrag kein x mehr steht???
Natürlich !
>
> Kennt ihr irgendwelche Übungsblätter über
> Funktionenfolgen im internet? evtl. mit Lösungen? Das ich
> noch paar Aufgaben üben kann...
Kennst Du Google ? Gib da mal ein "Übungsaufgaben gleichmäßige konvergenz" und lass Dich überraschen ....
FRED
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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