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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 09.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mathcal{A}) [/mm] ein meßbarer Raum und [mm] F:X\to \overline{\IR} [/mm] eine nichtnegative meßbare Funktion. Für jedes [mm] j\in \IN [/mm] sei
[mm] f_j:=\summe_{k=1}^{j^{2^j}}\bruch{k-1}{2^j}\chi_{A_{j,k}}+j\chi_{B_j}, [/mm] wobei [mm] A_{j,k}:=f^{-1}((\bruch{k-1}{2^j},\bruch{k}{2^j}]) [/mm] und [mm] B_j:=f^{-1}((j,+\infty]). [/mm] |
Ich würde mich freuen, wenn jemand helfen kann.
Zeigen Sie:
(i) Jedes [mm] f_j [/mm] ist eine nichtnegative einfache meßbare Funktion.
(ii) Die Folge [mm] (f_j) [/mm] ist monoton wachsend.
(iii) Die Folge [mm] (f_j) [/mm] konvergiert punktweise gegen f.
Meine bisherigen Ideen:
Zu (i):
nichtnegativ: zz. [mm] f_j(x)\ge [/mm] 0 für alle [mm] j\in \IN [/mm] [korrekt?]
einfach: zz. [mm] f_j(x) [/mm] ist endlich für alle [mm] j\in \IN [/mm] [korrekt?]
meßbar: [mm] f_j^{-1}(U)\in \mathcal{A} [/mm] für alle [mm] U\in [/mm] E mit einem Erzeuger E der Borel-sigma-Algebra von [mm] \IR [/mm] [korrekt?]
Zu (ii):
monoton wachsend: [mm] f_j(x)\le f_{j+1}(x) [/mm] für alle [mm] j\in \IN [/mm] [korrekt?]
Zu (iii):
punktweise konvergent gegen f: zz. Für jedes [mm] x\in \IR [/mm] gilt, dass [mm] (f_j) [/mm] gegen f konvergiert.
Wer kann das ein bisschen mit Ansätzen füllen?
Denn ich weiß nicht, wie ich das nun KONKRET zeigen kann.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 06:22 Mo 10.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Kann mir vllt. jemand diese Konstruktion erstmal erklären?
[mm] f_j:=\summe_{k=1}^{j^{2^j}}\bruch{k-1}{2^j}\chi_{A_{j,k}}+j\chi_{B_j}, [/mm] wobei [mm] A_{j,k}:=f^{-1}((\bruch{k-1}{2^j},\bruch{k}{2^j}]) [/mm] und [mm] B_j:=f^{-1}((j,+\infty]) [/mm] |
Ich kann damit nämlich nichts anfangen und mir das z.B. graphisch nicht vorstellen.
Also wenn ich z.B. mal [mm] f_1 [/mm] betrachte:
Dann habe ich:
[mm] f_1=\summe_{k=1}^{2}\frac{k-1}{2}\chi_{A_{1,k}}+\chi_{B_1} [/mm] und
[mm] A_{1,k}=f^{-1}((\frac{k-1}{2},\frac{k}{2}]) [/mm] sowie
[mm] B_1=f^{-1}((1,+\infty])
[/mm]
So weit, so gut, aber ich verstehe nicht, was Da nun für ein Wert insgesamt entsteht und wie man auf den kommt.
Vielleicht kann mir einfach das jemand erklären, wie man eine Funktion [mm] f_j [/mm] bildet bzw. was man sich darunter vorzustellen hat.
Dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:41 Mi 12.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mo 10.01.2011 | | Autor: | maikel |
Hi
(i) Aus nicht-negativ und einfach folgt schon messbar. (Du musst natürlich zeigen, warum [mm] $f_j$ [/mm] einfach ist. Sind die [mm] $A_{j,k}, B_j$ [/mm] messbar?)
(ii) Schau dir an, wie sich die [mm] $B_j$ [/mm] und [mm] $A_{j,k}$ [/mm] verhalten (findest du hier zum Beispiel Monotonien?). Das benutzt du dann für die Monotonie der [mm] $f_j$.
[/mm]
(iii) Du zeigst für alle $x [mm] \in \mathbb [/mm] R$ [mm] $f_j(x) \to [/mm] f(x)$. Dabei hilft es wahrscheinlich, dass die [mm] $B_j$ [/mm] verschwinden und die [mm] $A_{j,k}$ [/mm] immer feiner werden.
HTH, Maikel
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:28 Mo 10.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Ich werde mal versuchen, Deine Tipps zu beherzigen: |
zu (i):
Dass eine Funktion einfach ist, bedeutet ja, dass sie nur endlich viele Werte annimmt. Ich weiß nicht genau, wie ich das nun begründen soll: Aber man summiert ja für jede Funktion [mm] f_j [/mm] der Funktionenfolge [mm] j*2^j+1 [/mm] Summanden und da j eine natürliche Zahl ist, sind das doch nur endlich viele Werte... oder anders ausgedrückt: Die [mm] f_j [/mm] setzen sich ja aus endlich vielen "Stufen" zusammen, d.h. sie nehmen nur endlich viele Werte an.
[Weiß nicht, wie ichs besser begründen kann.]
Ich würde jetzt sagen, dass dabei keine negativen Werte rauskommen können, denn die charakteristischen Funktionen liefern 1 oder 0 und die Faktoren davor sind positiv.
Ich würde sagen: Ja, die [mm] A_{j,k} [/mm] und [mm] B_j [/mm] sind messbar, denn sie sind halboffene Teilmengen und damit Borelmengen) des Definitionsbereichs von f und f ist nach Voraussetzung ja [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B}-messbar.
[/mm]
zu (ii)
Die [mm] A_{j,k} [/mm] und B{j} sind monoton wachsend. Denn z.B. ist [mm] x\leq x_1 [/mm] für alle x [mm] \in A_{1,k}, x_1\in A_{j+1,k}, [/mm] ich glaube, dass sogar strenge Monotonie vorliegt.
Die [mm] B_j [/mm] sind monoton wachsend. Z.b. ist [mm] B_1=(1,\infty], B_2=(2,\infty] [/mm] und damit [mm] x\leq x_1 [/mm] für alle [mm] x\in B_1 [/mm] und [mm] x_1\in B_2.
[/mm]
Damit gilt natürlich [mm] f_j\leq f_{j+1}, [/mm] richtig?
Aufgabe (iii) weiß ich grad noch nichts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Mi 12.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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