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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Mo 26.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktionenfolge auf gleichmäßige Konvergenz
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}sin(nx)
[/mm]
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f(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(nx)}{n} [/mm] = ???ß
wie berechne ich jetzt das????
falls das was ich hingeschrieben habe stimmt!
danke lg
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> Untersuchen Sie die folgende Funktionenfolge auf
> gleichmäßige Konvergenz
Hallo,
bei diesen Fragestellungen ist imemr auch der Definitionsbereich wichtig.
Ich gehe davon aus, daß wir [mm] f_:\IR \to \IR [/mm] betrachten.
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}sin(nx)[/mm]
>
>
> f(x) = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(nx)}{n}[/mm] =
> ???ß
>
> wie berechne ich jetzt das????
> falls das was ich hingeschrieben habe stimmt!
Wenn Du mit dem, was Du hingeschrieben hast, bezweckst, daß Du erstmal die Grenzfunktion berechnest, also die Funktion, gege die die Funktionenfolg punktweise konvergiert, dann ist das richtig.
Die Berechnung des Grenzwertes gelingt Dir, wenn Du Dir klarmachst, daß [mm] -1\le [/mm] sin(nx) [mm] \-1 [/mm] gilt.
Wenn Du das ausgerechnet hast, kannst Du die Grenzfunktion f hinschreiben.
Für die glm Konvergenz ist anschließend zu prüfen, ob [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup_{x\in \IR} \left|f_n(x)-f(x)\right|=0 [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mo 26.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
okay ja dass der sin(nx) zwischen -1 und 1 liegt ist klar
also n geht gehen unendlich, dann bedeutet das???
wenn x null ist dann 0.
oder??
sin(nx) kommt mir irgendwie vor dass dann [mm] sin(\infty*x) [/mm] aber irgendwie glaub ich denk ich grad einen blödsinn zusammen!
danke lg
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Hallo,
Für die Grenzfunktion:
[mm] $$\frac{|sin(nx)|}{n}\le\frac{1}{n}\to [/mm] 0 [mm] \; \text{ für } n\to\infty$$
[/mm]
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mo 26.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
und ohne betrag???
danke lg
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> und ohne betrag???
Hallo,
so ein bißchen könntest Du doch auch selbst überlegen, oder?
Was ist denn wohl mit a, wenn gilt [mm] 0\le [/mm] |a| [mm] \le [/mm] 0 ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mo 26.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
a = 0
okay ohne betrag wäre es dann -1/n oder 1/n
geht auch gegen 0
okay hab ich verstanden.
danke lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft das:
[mm] $\bruch{-1}{n} \le \bruch{sin(nx)}{n} \le \bruch{1}{n}$ [/mm] für jedes n [mm] \in \IN [/mm] und jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 26.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
und -1/n und 1/n gehen für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0
also geht sin(nx)/n auch gegen 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> und -1/n und 1/n gehen für n [mm]\to \infty[/mm] gegen 0
>
> also geht sin(nx)/n auch gegen 0
Ja, das bedeutet: die Funktionenfolge [mm] $f_n(x) [/mm] = sin(nx)/n$ konvergiert auf [mm] \IR [/mm] punktweise gegen die Nullfunktion
Preisfrage: ist die Konvergenz von [mm] (f_n) [/mm] auch gleichmäßig ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mo 26.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
ja, die konvergez ist gleichmäßig auf R.
danke lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Bingo !
FRED
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