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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch die Funktionenreihe
f(x) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} [(sin(nx))/(e^n)]
[/mm]
eine differenzierbare Funktion auf [mm] \IR [/mm] definiert wird. |
Hallo,
tut mir leid, aber ich weiß leider nicht, wie ich hier beginnen soll.
Hat jemand vielleicht einen Tipp?
Geht das vielleicht auch mit der Existenz dieses Grenzwertes:
[mm] \lim_{x->x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)
[/mm]
Grüße,
Benjamin
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Guten Abend,
> Zeigen Sie, dass durch die Funktionenreihe
>
> f(x) = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} [(sin(nx))/(e^n)][/mm]
>
> eine differenzierbare Funktion auf [mm]\IR[/mm] definiert wird.
>
> Hallo,
> tut mir leid, aber ich weiß leider nicht, wie ich hier
> beginnen soll.
>
> Hat jemand vielleicht einen Tipp?
>
> Geht das vielleicht auch mit der Existenz dieses
> Grenzwertes:
> [mm]\lim_{x->x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)[/mm]
>
Das ist doch grad eine Definition für Diff'barkeit! Wenn dieser Grenzwert für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] existiert, dann ist $f$ diff'bar auf [mm] $\IR$. [/mm]
eDu musst aber bednken dass deine Funktion ja auch durch einen Grenzwert definiert ist. Damit du dann wenn du die obige Definition hinschreibst den Limes Vertauschen kannst, musst du noch gleichmäßige Stetigkeit oder so zeigen!
Wenn du ein Argument dafür gefunden hast, warum du den Grenzwert vertauschen darfst, steht schon alles da was du brauchst!
> Grüße,
> Benjamin
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hallo,
es tut mir leid, aber ich weiß immer noch nicht, was ich machen muss. Was soll ich vertauschen?!
Ich würde gerne die Vorgehensweise wissen, wie man an so eine Aufgabe herangeht und wie man sie dann löst. Wäre das okay?
Grüße,
Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 So 10.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst als erstes zeigen, dass die Funktionen f'_k(x) wo bis k summiert wird nicht nur punktweise (also für festes x ) gegen f' konvergiert, sondern auch gleichmäßig. und dass f punktweise konverrgiert
sieh dazu falls dus nicht weisst unter gleichm. Konvergenz von Funktionenfolgen nach. etwa in wiki
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
also meine Idee wäre jetzt dazu:
f'_k (x) = [mm] \sum_{n=0}^k (n*cos(nx))/(e^n) [/mm] und f'(x) = [mm] \sum_{n=0}^\infty (n*cos(nx))/(e^n)
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] mimt [mm] \epsilon [/mm] = ? :
|f'(x)-f'_k (x)| = [mm] |\sum_{n=k+1}^\infty (n*cos(nx))/(e^n)|
[/mm]
<= [mm] \sum_{n=k+1}^\infty |(n*cos(nx))/(e^n)|
[/mm]
= [mm] \sum_{n=k+1}^\infty (n*|cos(nx)|)/(e^n)
[/mm]
<= [mm] \sum_{n=k+1}^\infty (n*1)/(e^n)
[/mm]
= [mm] \sum_{n=k+1}^\infty n/e^n
[/mm]
Ist das bis dahin so okay? Nur wie es jetzt weiter mit der Abschätzung geht, weiß ich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Versuchs mal mit folgendem Satz, den Ihr bestimmt hattet:
Satz: Sei I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Intervall und [mm] (f_n) [/mm] eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen [mm] $f_n: [/mm] I [mm] \to \IR$.
[/mm]
Ist [mm] x_0 \in [/mm] I und konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n(x_0) [/mm] und ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n' [/mm] auf I glm. konvergent, so konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] auf I glm. ,
$f(x):= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n(x)$
[/mm]
ist auf I stetig differenzierbar und
$f'(x)= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] I
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hallo,
also ich habe es mal versucht, bis dahin, wo ich komme... Muss ich denn vorher auch zeigen, dass die Folge stetig diffbar ist?
f(x) = [mm] \sum{sin(nx)}/{e^n}
[/mm]
Bedingungen. [mm] f_n [/mm] : I -> [mm] \IR [/mm] ist diffbar und [mm] \sum [/mm] f'_n ist glm konvergent
=> f(x) ist diffbar mit f' = [mm] \sum [/mm] f'_n
f-n diffbar?
Ableitung: f' = [mm] {ncos(nx)}/{e^n}
[/mm]
Prüfe [mm] \sum [/mm] f'_n auf glm kvgz
Behauptung: [mm] \sum [/mm] f'_n ist glm kvgt auf [mm] \IR. [/mm]
zz.: [mm] \sum [/mm] ||f'_n|| kvgt.
es gilt: [mm] |{ncos(nx)}/e^n|<=|n/e^n|
[/mm]
Wurzelkriterium: [mm] \wurzel[n]{n/e^n} [/mm] = 1/e [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] -- [mm] n->\infty [/mm] ->1/e und||f'_n|| ist nach Majorantenkrit abs. kvgt.
Nach weierstraßkrit folgt, dass [mm] \sum [/mm] f'_n glm kvgt und damit f(x) diffbar ist.
richtig so??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> also ich habe es mal versucht, bis dahin, wo ich komme...
> Muss ich denn vorher auch zeigen, dass die Folge stetig
> diffbar ist?
>
> f(x) = [mm]\sum{sin(nx)}/{e^n}[/mm]
>
> Bedingungen. [mm]f_n[/mm] : I -> [mm]\IR[/mm] ist diffbar und [mm]\sum[/mm] f'_n ist
> glm konvergent
> => f(x) ist diffbar mit f' = [mm]\sum[/mm] f'_n
>
> f-n diffbar?
>
> Ableitung: f' = [mm]{ncos(nx)}/{e^n}[/mm]
>
> Prüfe [mm]\sum[/mm] f'_n auf glm kvgz
>
> Behauptung: [mm]\sum[/mm] f'_n ist glm kvgt auf [mm]\IR.[/mm]
>
> zz.: [mm]\sum[/mm] ||f'_n|| kvgt.
>
> es gilt: [mm]|{ncos(nx)}/e^n|<=|n/e^n|[/mm]
>
> Wurzelkriterium: [mm]\wurzel[n]{n/e^n}[/mm] = 1/e [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] --
> [mm]n->\infty[/mm] ->1/e und||f'_n|| ist nach Majorantenkrit abs.
> kvgt.
>
> Nach weierstraßkrit folgt, dass [mm]\sum[/mm] f'_n glm kvgt und
> damit f(x) diffbar ist.
>
> richtig so??
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Danke dir für die Hilfe!!!
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