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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:01 Mi 04.02.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe mit der Aufgabe gerade erst angefangen und überlege noch, vielleicht komme ich drauf. Was mich nur verwirrt ist der Zusatz:
Die Reihe divergiert doch schon für z=e - wozu dann die Frage nach der offenen Umgebung von e? Die Funktion kann doch auf keiner Menge die e einschließt holomorph sein?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mi 04.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo,
was ist [mm] $\IC_{-}$?
[/mm]
> Die Reihe divergiert doch schon für z=e - wozu dann die
> Frage nach der offenen Umgebung von e? Die Funktion kann
> doch auf keiner Menge die e einschließt holomorph sein?
Na, nur weil die Reihe divergiert heisst das noch nichts. Die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty x^n$ [/mm] divergiert auch fuer $x = 2$, obwohl die dadurch definierte holomorphe Funktion durch [mm] $\frac{1}{1 - x}$ [/mm] auf ganz [mm] $\IC \setminus \{ 1 \}$ [/mm] fortgesetzt werden kann.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mi 04.02.2009 | | Autor: | MacMath |
[mm] \IC_- [/mm] := [mm] \IC [/mm] \ [mm] \{x\in \IR, x < 0\} [/mm] die Schlitzebene
Also abgesehen davon dass ich nicht weiß wie ich an die Aufgabe herangehen soll ist jetzt auch noch der Teil der so schön einfach aussah dahin :P
Ok, schrittchenweise.. Um das gesuchte zu zeigen muss ich die Funktionenfolge der Partialsummen betrachten und lokal gleichmäßige Konvergenz nachweisen nehm ich an.
(Satz von Weierstrass) wie mache ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mi 04.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]\IC_-[/mm] := [mm]\IC[/mm] \ [mm]\{x\in \IR, x < 0\}[/mm] die Schlitzebene
>
> Also abgesehen davon dass ich nicht weiß wie ich an die
> Aufgabe herangehen soll ist jetzt auch noch der Teil der so
> schön einfach aussah dahin :P
>
> Ok, schrittchenweise.. Um das gesuchte zu zeigen muss ich
> die Funktionenfolge der Partialsummen betrachten und lokal
> gleichmäßige Konvergenz nachweisen nehm ich an.
> (Satz von Weierstrass) wie mache ich das?
Schau dir doch mal Polarkoordinaten an: $z = r [mm] e^{i t}$ [/mm] mit $t [mm] \in (-\pi, \pi)$ [/mm] und $r > e$ (da $|z| > e$).
Kannst du damit [mm] $|\log(z)|$ [/mm] unabhaengig von $t$ abschaetzen?
Und was kannst du damit ueber [mm] $\sum_{n=0}^\infty |\log(z)|^{-n}$ [/mm] aussagen?
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:05 Fr 06.02.2009 | | Autor: | felixf |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich habe mit der Aufgabe gerade erst angefangen und
> überlege noch, vielleicht komme ich drauf. Was mich nur
> verwirrt ist der Zusatz:
>
> Die Reihe divergiert doch schon für z=e - wozu dann die
> Frage nach der offenen Umgebung von e? Die Funktion kann
> doch auf keiner Menge die e einschließt holomorph sein?
Der zweite Teil der Frage ist dazu aequivalent, ob die Funktion $g : [mm] \{ z \mid |z| < 1 \} \to \IC$, [/mm] $z [mm] \mapsto \sum_{n=0}^\infty z^{n^2}$ [/mm] um den Punkt $z = 1$ herum holomorph fortsetzbar ist.
(Durch ausprobieren stellt man schnell fest: das geht vermutlich nicht, da [mm] $\lim_{t \to 1-} [/mm] g(t) = [mm] \infty$ [/mm] zu sein scheint.)
Vielleicht hilft dir das weiter...
LG Felix
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