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| Aufgabe | Sei [mm] (f_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Folge von beschränkten Funktionen. [mm] f_n [/mm] :M [mm] \to \IC [/mm] für eine bel. Menge M [mm] \not= \emptyset. [/mm] Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} ||f_n||_M [/mm] sei konvergent.
z.z: die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} f_n [/mm] konvergiert gleichmäßig absolut in M. |
Hallo,
Ich hab die Aufgabe soweit bearbeitet bin mir nur nicht überallganz sicher, deswegen poste ich sie mal es wäre nett, wennjmd mal drüber schauen könnte.
Also:
Da [mm] ||f_n||_M [/mm] die Supremumsnorm von [mm] f_n [/mm] ist, ist n.V. [mm] ||f_n||_M [/mm] für jeden Punkt x [mm] \in [/mm] M eine Majorante der Folge [mm] f_n(x). [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} f_n(x) [/mm] konvergiert absolut für alle x [mm] \in [/mm] M.
Setze: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} f_n(x) [/mm] = f(x)
und [mm] s_n(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} f_k(x) [/mm] (Folge der Partialsumme)
( [mm] ||s_n||_M [/mm] = [mm] ||\summe_{k=0}^{n} f_k||_M [/mm] )
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} ||s_n [/mm] - [mm] f||_M [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ||\summe_{k=0}^{n} f_k -f||_M [/mm] =
[mm] ||\summe_{k=0}^{\infty} f_k [/mm] -f [mm] ||_M [/mm] =
[mm] ||f-f||_M [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|s_n(x) [/mm] - f(x)| = 0 für alle x [mm] \in [/mm] M
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty} f_n [/mm] konvergiert gleichmäßig
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Hiho,
> Also:
> Da [mm]||f_n||_M[/mm] die Supremumsnorm von [mm]f_n[/mm] ist, ist n.V. [mm]||f_n||_M[/mm] für jeden Punkt x [mm]\in[/mm] M eine Majorante der Folge [mm]f_n(x).[/mm]
Wie definierst du Majorante? Die Aussage stimmt so, allerdings solltest du dir hier eins klarmachen, darum die Frage.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} f_n(x)[/mm] konvergiert absolut für alle x [mm]\in[/mm] M.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ||\summe_{k=0}^{n} f_k -f||_M[/mm]
> = [mm]||\summe_{k=0}^{\infty} f_k[/mm] -f [mm]||_M[/mm]
Warum sollte das gelten?
Dass das im Allgemeinen nicht gilt (sondern eben nur, wenn [mm] $s_n \to [/mm] f $ gleichmäßig, was du ja aber gerade zeigen willst), kannst du dir recht schnell selbst überlegen:
Ann: [mm] $f_n \to [/mm] f$ punktweise, aber nicht gleichmäßig. Nach deiner Argumentation wäre dann ja:
[mm] $\lim_{n\to\infty} ||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty [/mm] = [mm] ||\lim_{n\to\infty}f_n [/mm] - [mm] f||_\infty [/mm] = ||f - [mm] f||_\infty [/mm] = 0 [mm] \quad\Rightarrow\quad f_n\to [/mm] f$ glm
Widerspruch 
MFG,
Gono.
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