Funktionenreihen, Konvergenz.. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | "Für welche x sind die Funktionsreihen konvergent, gleichmäßig konvergent?" - "Ist die Reihe im gegebenen Intervall gleichmäßig stetig?" |
So.
Leider habe ich jetzt effektiv 2 Tage Zeit, um mich mit den Begriffen "Funktionenfolge, Funktionenreihe, deren Konvergenz, gleichmäßiger Konvergenz, ..." vertraut zu machen und dieses Wissen dann auf reichlich viele Aufgaben anzuwenden.
Die ersten Ergebnisse der Online-Suche bzgl. "Konvergenz von Funktionenreihen" liefern schon einige Informationen, mit denen ich jedoch so meine Probleme habe..
Ich gebe eine Beispielaufgabe:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{cos n^2x}{\sqrt{n}^3} [/mm] $ auf den reellen Zahlen.
Diese Reihe soll auf gleichmäßige Konvergenz untersucht werden.
Meine Frage: Wie gehe ich so etwas denn am besten an?
Offenbar versteht man unter der gleichmäßigen Konvergenz:
"Eine Funktionenreihe $ [mm] \sum_{k=1}^\infty a_k [/mm] $ heißt auf der Menge X gleichmäßig konvergent zur Summenfunktion A, wenn [mm] $A_n(x) \to [/mm] A(x)$"
Und $A(x) = [mm] \sum_{k=1}^\infty a_k(x)$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> "Für welche x sind die Funktionsreihen konvergent,
> gleichmäßig konvergent?" - "Ist die Reihe im gegebenen
> Intervall gleichmäßig stetig?"
> So.
> Leider habe ich jetzt effektiv 2 Tage Zeit, um mich mit
> den Begriffen "Funktionenfolge, Funktionenreihe, deren
> Konvergenz, gleichmäßiger Konvergenz, ..." vertraut zu
> machen und dieses Wissen dann auf reichlich viele Aufgaben
> anzuwenden.
>
> Die ersten Ergebnisse der Online-Suche bzgl. "Konvergenz
> von Funktionenreihen" liefern schon einige Informationen,
> mit denen ich jedoch so meine Probleme habe..
>
> Ich gebe eine Beispielaufgabe:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{cos n^2x}{\sqrt{n}^3}[/mm] auf den
> reellen Zahlen.
>
> Diese Reihe soll auf gleichmäßige Konvergenz untersucht
> werden.
> Meine Frage: Wie gehe ich so etwas denn am besten an?
Hiermit:
http://de.wikipedia.org/wiki/Weierstraßsches_Majorantenkriterium
>
> Offenbar versteht man unter der gleichmäßigen
> Konvergenz:
> "Eine Funktionenreihe [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k[/mm] heißt auf der
> Menge X gleichmäßig konvergent zur Summenfunktion A, wenn
> [mm]A_n(x) \to A(x)[/mm]"
> Und [mm]A(x) = \sum_{k=1}^\infty a_k(x)[/mm]
Na ja, das ist unvollständig !
[mm]\sum_{k=1}^\infty a_k(x)[/mm] heißt gleichmäßig konvergent auf X, wenn die Funktionenfolge [mm] (A_n) [/mm] auf X gleichmäßig konvergiert, wobei
[mm] A_n(x):=\sum_{k=1}^{n} a_k(x) [/mm] (n [mm] \in \IN, [/mm] x [mm] \in [/mm] X)
FRED
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Dann muss ich also quasi eine konvergente Majorante finden?
Hättest du (oder jemand anderes) vielleicht ein Beispiel für mich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Fr 22.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Dann muss ich also quasi eine konvergente Majorante
> finden?
Müssen tust Du gar nichts. Empfehlenswert ist es aber... und nicht nur "quasi".
>
> Hättest du (oder jemand anderes) vielleicht ein Beispiel
> für mich?
Tipp: [mm] |\cos(t)| \le [/mm] 1 für alle t [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
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1.) Mhhm okay dann..
Für
$ [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{n}^3} [/mm] * cos(n^2x) $ folgt:
$ [mm] |f_n| \leq \frac{1}{\sqrt{n}^3} [/mm] $
Da $ [mm] \sum \frac{1}{\sqrt{n}^3} [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ (also konvergent) ist dann nach dem Satz von Weierstraß auch die zu untersuchende Reihe gleichmäßig konvergent.
Ist das in Ordnung so?
Hätte da noch eine Aufgabe des Typs:
2.)
[mm] $\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{1+x^n} [/mm] -1)$ (auf dem Intervall [0, a] mit a < 1)
Für
[mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \sqrt{1+x^n} [/mm] - 1 [mm] \leq [/mm] 1 + [mm] x^n [/mm] - 1 [mm] \leq \frac{a^n}{2} [/mm] $
Und die Reihe
$ [mm] \sum \frac{a^n}{2} [/mm] $ ist konvergent, da ja 0 < a < 1 (dürfte die geometrische Reihe sein?)
Somit folgt auch hier die gleichmäßige Konvergenz - ?
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Hiho,
alles ok.
Erwähnen solltest du bei der zweiten Reihe vielleicht noch, dass die Summanden immer nicht negativ sind, du also auch hier [mm] |f_n| [/mm] abschätzt.
Gruß,
Gono.
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