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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Do 16.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo,
ich erneut.
Bitte kontrolliert das mal soweit.
Was die 2 mit der Zeichnung betrifft, betrachtet es eher als Skizze. 
Die Tangente bei Nr.5 könnte stimmen, doch bei der von Nr.6 bin ich unsicher. Ist das richtig, dass ich hier [mm] f_{1}(x) [/mm] nehme wie bei Nr.5 anstatt [mm] f_{a}(x) [/mm] ?
7) Ich warte hier noch, bis ich weiß, dass beide richtig sind.
8) Muss ich jetzt hier noch zunächst die Extremstellen berechnen? Falls ja, das habe ich schonmal gemacht. Und danach noch eine Tangente bestimmen, gleichsetzen mit [mm] f_{1} [/mm] und dann die Schnittpunkte als Integrale nehmen? Oder muss ich auch noch die Wendepunkte bestimmen?
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Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Fr 17.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Du erneut.
> Die Tangente bei Nr.5 könnte stimmen, doch bei der von Nr.6
> bin ich unsicher. Ist das richtig, dass ich hier [mm]f_{1}(x)[/mm]
> nehme wie bei Nr.5 anstatt [mm]f_{a}(x)[/mm] ?
Die Tangenten sind ok.
Die Aufgabe 6 ist zwar - spitzfindig gesehen - so formuliert, dass eigentlich die Tangente(nschar) an der Kurvenschar gemeint sein müsste (finde ich jedenfalls), da aber der genannte Punkt nur auf dem Graphen zu [mm] $f_1$ [/mm] liegt (siehe Nullstellenberechnung), kann nur dieser gemeint sein.
Du hättest die Tangenten ruhig schon zeichnen können, ja sollen. Das hätte Dir einigermaßen bestätigt, dass sie richtig sein könnten.
> 8) Muss ich jetzt hier noch zunächst die Extremstellen
> berechnen? Falls ja, das habe ich schonmal gemacht. Und
> danach noch eine Tangente bestimmen, gleichsetzen mit [mm]f_{1}[/mm]
> und dann die Schnittpunkte als Integrale nehmen? Oder muss
> ich auch noch die Wendepunkte bestimmen?
Zeichne die besagte Tangente mal in Deine Zeichnung ein. Das ist eine waagerechte Gerade!
Natürlich brauchst Du dafür den Hochpunkt, den hast Du schon - allgemein - in der Kurvendiskussion berechnet, musst nur noch für a=1 einsetzen. Und wenn Du Dir nun in der Zeichnung die Fläche ansiehst... Wozu noch die Wendepunkte??
Aber ein paar Anmerkungen zur Kurvendiskussion unter 1)
Bei den Wendepunkten machst Du zwar eine schöne Fallunterscheidung für a>0 und a<0 (btw: was ist eigentlich bei a=0? ), aber - ähm - seit wann untersucht man bei Wendepunkten nach H und T??
Und nun schau Dir die Ergebnisse für Nullstellen und Extremstellen an: Da hast Du (korrekt) Wurzeln. Die Radikanden musst Du Dir aber näher anschauen. So gibt es für $-1 < a < 0$ keine weiteren Nullstellen (außer (0/0)) und Extremstellen, da ja da der Radikand negativ wird...
Warum hast Du bei den Extremstellen nicht zu Ende untersucht, ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind? Das ist doch schnell gemacht. Und wenn Du bedenkst, dass es ja nur auf das Vorzeichen des Ergebnisses ankommt, geht's noch schneller Natürlich auch hier Fallunterscheidung für a.
Apropos a: Steht in der originalen Aufgabe evtl. eine Einschränkung für a? Z.B. "a>0"? Würde Dir ein wenig Mühe sparen  Aber natürlich übt es, wenn Du alle Varianten durchgehst...
Schöne Grüße,
ardik
PS:
Wenn nicht deutlich erwähnt, habe ich nicht alles genau nachgerechnet, sondern teilweise nur überflogen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Sa 18.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo,
danke für Deine Antwort, habe nun endlich die 8 hinbekommen, bitte kontrolliert mal, ob das so richtig ist (Die Extrempunkte sind jetzt aus Nr.1 entnommen, bzw. a=1 wurde eingesetzt.).
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Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Bei Deiner Schnittpunktbrechnung sind aber ein / zwei Schnitzer drin.
Zum einen rechnen wir mal etwas genauer: $H \ [mm] \left( \ \wurzel{\bruch{2}{3}} \left| \ \bruch{4}{3}\wurzel{\bruch{2}{3}} \ \right)$
Damit ergibt sich dann folgende Bestimmungsgleichung für den weiteren Schnittpunkt:
$-x^3+2x \ = \ \bruch{4}{3}\wurzel{\bruch{2}{3}}$
$x^3-2x \ \blue{+} \ \bruch{4}{3}\wurzel{\bruch{2}{3}} \ = \ 0$
Dann wissen wir ja, dass der Wert $x_1 \ = \ \wurzel{\bruch{2}{3}}$ diese Gleichung als (doppelte) Nullstelle löst, da dies ja exakt unsere vorgegebene Berührstelle ist.
Wir können also folgende [[Polynomdivision]] durchführen:
$\left(x^3-2x \ \blue{+} \ \bruch{4}{3}\wurzel{\bruch{2}{3}}\right) : \left(x-\wurzel{\bruch{2}{3}}\right)^2 \ = \ \left(x^3-2x \ \blue{+} \ \bruch{4}{3}\wurzel{\bruch{2}{3}}\right) : \left(x^2-2*\wurzel{\bruch{2}{3}}*x+\bruch{2}{3}\right) \ = \ ...$
Das Ergebnis dieser [[Polynomdivision]] liefert uns dann auch den exakten Wert der weiteren Schnittstelle.
Kontrollergebnis: $x_2 \ = \ -2*\wurzel{\bruch{2}{3}}$
Damit lässt sich dann auch die entsprechende Fläche exakt ausrechnen (bei der dann auch wirklich eine glatte Zahl herauskommt):
$A \ = \ \integral_{x_2}^{x_1}{t(x)-f_1(x) \ dx} \ = \ \integral_{-2*\wurzel{\bruch{2}{3}} }^{\wurzel{\bruch{2}{3}} }{\bruch{4}{3}\wurzel{\bruch{2}{3}}-\left(-x^3+2x\right) \ dx} \ = \ ...$
Gruß
Loddar
[blue][i]Edit: Vorzeichenfehler (siehe auch ardiks Artikel) korrigiert. Loddar[/i][/blue]
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 So 19.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Loddar,
leider habe ich noch einige Probleme mit dieser Aufgabe.
- Ich verstehe nicht, wie Du auf die Nullstelle [mm] x_{1}=\wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] kommst. Dein Erklärungssatz ist mir nicht begreiflich. Außerdem, wenn ich [mm] x_{1}=\wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] in [mm] x^3-2x-\bruch{4}{3}\wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] = 0 einsetze, dann erhalte ich nicht 0 !
- Wieso nimmst Du das [mm] \left(x-\wurzel{\bruch{2}{3}}\right) [/mm] in der Polynomdivision zum Quadrat? Das verstehe ich nicht. Normalerweise macht man das doch in einer Polynomdivision nicht.
- Eigentlich komme ich mit Polynomdivisionen ganz gut zurecht, aber hier bin ich völlig überfordert. Hast Du dort nach der Polynomdivision direkt [mm] x_2 [/mm] = [mm] -2\cdot{}\wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] raus? Also wenn ich anfange, die Polynomdivsion zu rechnen, dann rechne ich doch [mm] x^3 [/mm] : [mm] x^2, [/mm] was dann doch x ist. Wo verschwindet das denn hin? Allgemein erhalte ich ein totales Chaos. Wäre nett, wenn Du mir ein paar Rechenschritte Deiner Polynomdivision reinposten könntest, ich kann nämlich leider absolut nicht folgen.
- Ich habe mal ausgehend von Deinen Nullstellen die Fläche berechnet und erhalte A = -1 bzw. aufgrund des Betrags A = 1. Stimmt das wenigstens?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:17 So 19.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
Tsss, dass Loddar sowas mal passiert [staun]...
In der umgeformten Bestimmungsgleichung hat er einen Vorzeichenfehler, deswegen kommt dann auch nicht 0 heraus, wenn Du nachrechnest. Er hat zwar den Wurzelterm nach links rüber genommen, aber gleichzeitig bei [mm] $-x^3+2x$ [/mm] die Vorzeichen vertauscht.
Die (hier korrigierte) Gleichung
[mm] $-x^3 [/mm] + 2x - [mm] \bruch{4}{3}\wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] = 0$
ergab sich ja durch Gleichsetzen von $f$ und $t$. Was in $f$ die x-Koordinate des Hochpunktes - somit des Berührpunktes - war, ist hier nun die x-Koordinate der Nullstelle.
Anschaulich: Duch das Abziehen "der Tangente" - also der y-Koordinate des Hochpunktes - von $f$ verschieben wir ja sozusagen den Graphen zu $f$ um diesen Betrag nach unten, so dass nun der Hochpunkt von (ich nenne das mal:) [mm] $f^\* [/mm] = f - t$ auf der x-Achse liegt => Nullstelle. (siehe Zeichnung am Ende)
> - Wieso nimmst Du das [mm]\left(x-\wurzel{\bruch{2}{3}}\right)[/mm]
> in der Polynomdivision zum Quadrat? Das verstehe ich nicht.
> Normalerweise macht man das doch in einer Polynomdivision
> nicht.
Mnjah... Normalerweise teilt man durch [mm] $(x-x_\mbox{Nullstelle})$. [/mm] Da hier aber eine doppelte Nullstelle vorliegt (Anschaulich: Immer dann, wenn die Nullstelle gleichzeitig ein Extremum ist) könnte man das zweimal hintereinander tun. Oder zweimaliges Teilen eben gleich zusammenfassen zum Teilen durch's Quadrat.
> - Eigentlich komme ich mit Polynomdivisionen ganz gut
> zurecht, aber hier bin ich völlig überfordert. Hast Du dort
> nach der Polynomdivision direkt [mm]x_2[/mm] =
> [mm]-2\cdot{}\wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm] raus? Also wenn ich anfange,
> die Polynomdivsion zu rechnen, dann rechne ich doch [mm]x^3[/mm] :
> [mm]x^2,[/mm] was dann doch x ist. Wo verschwindet das denn hin?
Loddar hat nicht das Ergebnis der Polynomdivison wiedergegeben. Er hat "heimlich" weitergerechnet und nur zur Kontrolle die Nullstelle des Ergebnisses genannt. Dein Gedankengang bezüglich $x$ ist völlig korrekt. Ohne nachzurechnen (oder auch nur näher die Polynomdivision anzuschauen) denke ich, er bekam [mm] $x+2\cdot{}\wurzel{\bruch{2}{3}}$ [/mm] raus
> - Ich habe mal ausgehend von Deinen Nullstellen die Fläche
> berechnet und erhalte A = -1 bzw. aufgrund des Betrags A =
> 1. Stimmt das wenigstens?
Ich erhalte deutlich mehr. Aller guten Dinge...
Schöne Grüße,
ardik
PS:
Zur Veranschaulichung, es wird schön deutlich, wie das Abziehen der Tangentengleichung von f letzteres nach unten verschiebt (f, t, [mm] f^\*=f-t):
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 So 19.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo,
habe nun hier sowohl die Schnittstellenbererechnung als auch die Flächenberechnung erneut durchgeführt. Bitte schaut Euch das mal an.
Zur Polynomdivison: Ich habe da ja am Ende u.a. 4x übrig, die ich jetzt eigentlich durch [mm] x^2 [/mm] teilen müsste. x : [mm] x^2 [/mm] geht aber ja nicht. Ist die Polynomdivision jetzt hier zu Ende, obwohl da mehr als 0 übrig bleibt? Wenn ja, dann hätte ich Loddar's Ergebnis...
Flächenberechnung: Hab' mich da wohl etwas verrechnet, jetzt habe ich A=3 raus, wie Ihr unten sehen könnt. Stimmt das?
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Eins noch: Bei der Polynomdivsion, wenn Nullstelle = Extremum ist, dann MUSS ich zweimal durch [mm] (x-x_\mbox{Nullstelle}) [/mm] teilen, ja? Das ist immer so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 So 19.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo nochmal,
habe gerade eigene (dumme) Fehler innerhalb der Schnittstellenberechnung entdeckt, überarbeite gerade...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Deine Flächenberechnung (bzw. das Ergebnis) ist richtig!!
Bei der Poynomdivision musst Du aufpassen: wenn Du mit der Variante [mm] $\red{-}x^3\red{+}2x\red{-}\bruch{4}{3}\wurzel{\bruch{2}{3}}$ [/mm] arbeitest, erhältst Du als ersten Ergebnisterm auch [mm] $\red{-}x$ [/mm] !!
Damit sollte die Polynomdivision auch aufgehen.
> Eins noch: Bei der Polynomdivsion, wenn Nullstelle = Extremum ist,
> dann MUSS ich zweimal durch [mm](x-x_{\mbox{Nullstelle}})[/mm] teilen, ja?
Nein, Du musst nicht ... aber Du sparst Dir dadurch einen weiteren Schritt, eine weitere Polynomdivision bzw. p/q-Formel. Denn schließlich hättest Du dann als Ergebnis der Poynomdivision einen quadratischen Ausdruck erhalten, den Du noch weiter hättest zerlegen müssen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 So 19.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi Loddar,
ja, wie in meiner Mitteilung schon angekündigt, immer diese blöden Fehler.
Die Polynomdivision geht jetzt auf.
Danke Euch beiden für die Hilfe!
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![[laugh]](/images/smileys/laugh.gif "[laugh]"){kind=small}
Poynomdivision![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Richtig!
