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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm] f_{k} [/mm] mit [mm] f_{k}(x)=\bruch{k*e^{-x}}{k+e^{-x}}
[/mm]
für kein k>0 Extremwerte besitzen und die Wendepunkte auf dem Graphen von h mit h(x)=1/2*e^(-x) liegen. |
Hi Leute!!
Könnt ihr mir nen Tipp geben erstmal wie ich die Ableitungen machen kann
(QuotientenRegel)??
[mm] f_{k}(x)=\bruch{k*e^{-x}}{k+e^{-x}}
[/mm]
[mm] y=\bruch{u}{v}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{u'*v+v'*u}{v^2}
[/mm]
Und was bringt mir h(x), das is doch nur die Ortskurve..aber die hat doch garnichts mit den Extrempunkten zutun oder?
grüße b33r3!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo blaub
> Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm]f_{k}[/mm] mit
> [mm]f_{k}(x)=\bruch{k*e^{-x}}{k+e^{-x}}[/mm]
> für kein k>0 Extremwerte besitzen und die Wendepunkte auf
> dem Graphen von h mit h(x)=1/2*e^(-x) liegen.
> Hi Leute!!
> Könnt ihr mir nen Tipp geben erstmal wie ich die
> Ableitungen machen kann
> (QuotientenRegel)??
Ja!
> [mm]f_{k}(x)=\bruch{k*e^{-x}}{k+e^{-x}}[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{u}{v}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{u'*v+v'*u}{v^2}[/mm]
falsches vorzeichen: [mm]y'=\bruch{u'*v-v'*u}{v^2}[/mm]
> Und was bringt mir h(x), das is doch nur die
> Ortskurve..aber die hat doch garnichts mit den
> Extrempunkten zutun oder?
Nicht mit den Extrempunkten, die solls ja nicht geben! Aber Wendepunkte gibts, und die sagt die Aufgabe liegen alle auf h(x).
Gruss leduart
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heys leutz...
Ich bekomm einfach nicht die erste Ableitung hin...
kann mir das ma bitte einer vorrechnen(und nich in zu großen schritten)
ich hab mitterweile voll den buchstabensalat und blick da nix mehr..
[mm] u=k*e^{-x}
[/mm]
[mm] u'=-k*e^{-x}
[/mm]
[mm] v=k+e^{-x}
[/mm]
[mm] v'=-e^{-x}
[/mm]
Ich rechne nur mit dem Zähler, der Nenner is ja klar
[mm] f(x)=\bruch{u'v-v'*u}{v^{2}} [/mm]
[mm] v^{2}=(-e^{-2})^{2}
[/mm]
= [mm] e^{-4}
[/mm]
oder?
Jetzt kommen wir zum Kern (Zähler) Ich setze also ein:
[mm] f'(x)=-k*e^{-x}*(k+e^{-x})-(-e^{-x}*k*e^{-x})
[/mm]
Und jetz weiss ich einfach nicht wie ich das einfach mal GESCHICKT
an packen kann ohne es noch mehr zuverunstalten *help*
Z.b das Minus vor der Klammer wird das einfach + oder verstößt das gegen irgendein altes gesetz? hm und wäre es sinnvoll die Summe (die erste Klammer) aus zumultiplizieren? Sry bin einfach algebra schwach(wie sicher merkt...)
vielen dank für eurer bemühen schon mal im voraus 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Blaub
> [mm]u=k*e^{-x}[/mm]
> [mm]u'=-k*e^{-x}[/mm]
>
> [mm]v=k+e^{-x}[/mm]
daraus [mm] v^2 =(k+e^{-x})^2
[/mm]
> [mm]v'=-e^{-x}[/mm]
>
> Ich rechne nur mit dem Zähler, der Nenner is ja klar
>
> [mm]f(x)=\bruch{u'v-v'*u}{v^{2}}[/mm]
>
> [mm]v^{2}=(-e^{-2})^{2}[/mm]
> = [mm]e^{-4}[/mm]
> oder?
Oder! siehe oben!
> Jetzt kommen wir zum Kern (Zähler) Ich setze also ein:
>
> [mm]f'(x)=-k*e^{-x}*(k+e^{-x})-(-e^{-x}*k*e^{-x})[/mm]
zuerst ausklammern [mm] ke^{-x}
[/mm]
[mm] -k*e^{-x}*(k+e^{-x})-(-e^{-x}*k*e^{-x})=k*e^{-x}*(-k-e^{-x}+e^{-x})=-k^2e^{-x}
[/mm]
Und den Nenner bitte richtig!
In so nem Fall immer erst gucken, was man ausklammern kann.
Nebenbei: wenn du am Anfang die fkt mit [mm] e^x [/mm] erweiterst hast du ne einfachere zum differenzieren!
Vorsicht bei der 2. Abl. Kettenregel bei [mm] v^2 [/mm] nicht vergessen!
Gruss leduart!
> GESCHICKT
> an packen kann ohne es noch mehr zuverunstalten *help*
>
> Z.b das Minus vor der Klammer wird das einfach + oder
> verstößt das gegen irgendein altes gesetz?
Das gesetz ist wirklich uralt: - sind Schulden, und die kann man nie einfach weglassen und Guthaben daraus machen!
aber -(-a)=+a
>hm und wäre es
> sinnvoll die Summe (die erste Klammer) aus
> zumultiplizieren? Sry bin einfach algebra schwach(wie
> sicher merkt...)
Wenn einem das ausklammern zu schwer fällt muss man halt ausmultiplizieren! ist meistens länglicher!
Gruss leduart
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Hab mir ne Strategie ausgedacht um mir das mit dem Ausklammer von komplexeren Sachen simpel darzustellen...und wollte fragen ob es vom ansatz okay is so zudenken (zumindest erstmal ;) wenns richtig ist..
k sei a
[mm] e^{-x} [/mm] sei c
[mm] f'(x)=-k*e^{-x}*(k+e^{-x})-(-e^{-x}*k*e^{-x})
[/mm]
der ausdruck von oben ist dann:
-ac(a+c)-(-cac)
-ac(a+c)+cac
ac(-a-c)+cac
ac(-a-c+c)
[mm] -a^{2}c [/mm] = [mm] -k^{2}*e^{-x}
[/mm]
schlafe jetz ne nacht drüber und mache das morgen nochmal mit den "komplexen" dringern^^
schönen abend noch und thx!!
p.s. könntest du mir den erweiterten term mit [mm] e^{x} [/mm] zeigen?
bin nur soweit gekommen :
[mm] f(x)=\bruch{k}{(k+e^{-x})*e^{x}}
[/mm]
Die 2te Ableitung müsste [mm] f''(x)=k^{2}*e^{-x} [/mm] sein, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo blaub
> Hab mir ne Strategie ausgedacht um mir das mit dem
> Ausklammer von komplexeren Sachen simpel darzustellen...und
> wollte fragen ob es vom ansatz okay is so zudenken
> (zumindest erstmal ;) wenns richtig ist..
Ja, das ist ein guter ansatz komplexe Ausdrücke zu vereinfachen!
> k sei a
aber nen einzelnen Buchstaben umzutaufen macht weniger Sinn, sad aber nix.
> [mm]e^{-x}[/mm] sei c
>
> [mm]f'(x)=-k*e^{-x}*(k+e^{-x})-(-e^{-x}*k*e^{-x})[/mm]
> der ausdruck von oben ist dann:
>
> -ac(a+c)-(-cac)
> -ac(a+c)+cac
> ac(-a-c)+cac
> ac(-a-c+c)
> [mm]-a^{2}c[/mm] = [mm]-k^{2}*e^{-x}[/mm]
ricchtig!
> schlafe jetz ne nacht drüber und mache das morgen nochmal
> mit den "komplexen" dringern^^
>
> schönen abend noch und thx!!
>
> p.s. könntest du mir den erweiterten term mit [mm]e^{x}[/mm]
> zeigen?
> bin nur soweit gekommen :
>
> [mm]f(x)=\bruch{k}{(k+e^{-x})*e^{x}}[/mm]
[mm] \bruch{k}{(k+e^{-x})*e^{x}}=\bruch{k}{(k*e^x+e^{-x})*e^{x}}=\bruch{k}{(k+e^{-x})*e^{x}}=\bruch{k}{(k*e^{x}+1}[/mm]
[/mm]
> Die 2te Ableitung müsste [mm]f''(x)=k^{2}*e^{-x}[/mm] sein,
wo ist denn der Nenner geblieben?
das ist nicht die Abl. von f'!!
Du hast doch noch den Nenner [mm] (k+e^{-x})^2) [/mm] und wieder die Quotientenregel! Ich hatte dich direkt gewarnt den Nenner nicht zu vergessen.
Gruss leduart!
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Hi Leute!
Okay hab mich jetz mal an der 2ten ableitung versucht, die war schon etwas schwieriger ;) aber ich hab mir wieder alles einfach in buchstaben aufgeschrieben -> ausgeklammert und dann gekürzt...
also mit nenner => [mm] f''(x)=\bruch{k^{2}*e^{-x}*(k-e^{-x})}{(k+e^{-x})^{3}}
[/mm]
ähm also
[mm] f''(x)=\bruch{-k^{3}*e^{-2x}}{(k+e^{-x})^{3}}
[/mm]
hoffentlich is die mal richtig, sonst bring ich mich noch irgendwann um...sitz echt stunden an son term aber es geht immer schneller ;)
gruss, daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Do 23.11.2006 | | Autor: | chrisno |
> Hi Leute!
> Okay hab mich jetz mal an der 2ten ableitung versucht, die
> war schon etwas schwieriger ;) aber ich hab mir wieder
> alles einfach in buchstaben aufgeschrieben -> ausgeklammert
> und dann gekürzt...
>
> also mit nenner =>
> [mm]f''(x)=\bruch{k^{2}*e^{-x}*(k-e^{-x})}{(k+e^{-x})^{3}}[/mm]
bis hier komme ich auf das Gleiche
>
> ähm also
> [mm]f''(x)=\bruch{-k^{3}*e^{-2x}}{(k+e^{-x})^{3}}[/mm]
Das schaffe ich nicht. Freunlich für: das halte ich für falsch.
>
> hoffentlich is die mal richtig, sonst bring ich mich noch
> irgendwann um...sitz echt stunden an son term aber es geht
> immer schneller ;)
>
> gruss, daniel
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[mm]f''(x)=\bruch{-k^{3}*e^{-x}-k^2*e^{-2x}{(k+e^{-x})^{3}}[/mm]
>
Du meintest sicherlich eher ;)?
[mm]f''(x)=\bruch{k^{3}*e^{-x}-k^2*e^{-2x}}{(k+e^{-x})^{3}}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Fr 24.11.2006 | | Autor: | leduart |
Klammer vergessen.
Gruss leduart
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![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]"){kind=small}
![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]"){kind=small}
