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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Di 06.02.2007 | | Autor: | Pure |
| Aufgabe | a) Untersuchen Sie die Funktionenschar zu [mm] f_{t}(x)=e^{x}*(e^{x}-t).
[/mm]
b) Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte?
c) Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunkte?
d) Können die Schaubilder verschiedener Funktionen der Schar gemeinsame Punkte haben?
e) Zeigen Sie, dass [mm] F_{t}(x)=\bruch{1}{2}*(e^{x}-t)^{2} [/mm] eien Stammfunktion zu [mm] f_{t} [/mm] ist. Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die im 4. Quadranten von den Koordinatenachsen und dem Schaubild von [mm] f_{2} [/mm] eingeschlossen wird? |
Hallo alle zusammen! 
Also ich habe gerade mal Mathe geübt, bis ich auf diese Aufgabe gestoßen bin. Hoffe mal, ihr könnt mir helfen. Ich schreibe am Besten mal meine eigenen Versuche hin, damit ihr vielleicht seht, woran es bei mir hängt.
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f_{t}(x) [/mm] geht gegen [mm] \infty
[/mm]
Für [mm] -\infty [/mm] geht [mm] f_{t}(x) [/mm] gegen 0.
Zu den Wendestellen und Extrema komme ich bei b) bzw c).
b) Die erste Ableitung ist bei mir: f'_{t}(x)= [mm] e^{x}*(2*e^{x}-t). [/mm] Für die Extrema muss ich diese Ableitung ja 0 setzen, wobei dann bei mir [mm] herauskommt:\IL={when t>0, ln \bruch{t}{2}}. [/mm] Wenn ich jetzt also [mm] \bruch{t}{2} [/mm] als x-Wert in [mm] f_{t}(x) [/mm] einsetze, wäre mein y-Wert: y= [mm] \bruch{-(t)^{2}}{4}
[/mm]
Jetzt ist mein Problem das, das ich nicht weiß, wie man diese Kurve erstellt. Ich versuchs mal:
Zunächst isoliere ich t aus dem x-Wert: [mm] x=ln(\bruch{t}{2}) [/mm] wird zu [mm] t=2*e^{x}. [/mm] Das jetzt in den y-Wert eingesetzt wäre bei mir: y= [mm] \bruch{-(2*e^{x})^{2}}{4}=h(x)
[/mm]
Aber ist das meine gesuchte Gleichung??? Bin ein bisschen durcheinander.
c) Für die Wendestellen wird die 2. Ableitung 0 gesetzt. Die 2. Ableitung sieht bei mir so aus: [mm] f''_{t}(x)=e^{x}*(4*e^{x}-t).
[/mm]
Diese Ableitung jetzt 0 gesetzt ergibt: [mm] \IL={when t>0, ln(\bruch{t}{4}}. [/mm] Der x-Wert in [mm] f_{t}(x) [/mm] eingesetzt ergibt den y-Wert: y= [mm] \bruch{-3*(t)^{2}}{16}. [/mm] Das t würde ich aus dem x-Wert wieder isolieren und in y einsetzen:
[mm] y=\bruch{-3*(4*e^{x})^{2}}{16}=g(x). [/mm] Stimmt das so?
d)Für die gemeinsamen Punkte muss doch eigentlich gelten: h(x)=g(x), oder?
In Zahlen müsste das so aussehen:
[mm] \bruch{-(2*e^{x})^{2}}{4}=\bruch{-3*(4*e^{x})^{2}}{16}
[/mm]
Muss man jetzt nach x auflösen? Ich vermute das jetzt einfach mal und versuche, was dabei herauskommt, aber das geht nicht. Man kann hier nicht nach x auflösen. Was mache ich also falsch?
Bei der e´) habe ich ungefähre Vorstellungen. Ich denke, ich muss einfach ableiten, oder? Und das mit der Fläche denke ich auch,d ass ich es hinbekommen müsste.
Aber vielleicht könnt ihr mir ja bei den oberen Teilaufgaben helfen? Wäre wirklich super
Bis dahin, liebe Grüße,
Pure
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[mm] $\bffamily \text{Hi.}$
[/mm]
> a) Untersuchen Sie die Funktionenschar zu
> [mm]f_{t}(x)=e^{x}*(e^{x}-t).[/mm]
> b) Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte?
> c) Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunkte?
> d) Können die Schaubilder verschiedener Funktionen der
> Schar gemeinsame Punkte haben?
> e) Zeigen Sie, dass [mm]F_{t}(x)=\bruch{1}{2}*(e^{x}-t)^{2}[/mm]
> eien Stammfunktion zu [mm]f_{t}[/mm] ist. Wie groß ist der
> Flächeninhalt der Fläche, die im 4. Quadranten von den
> Koordinatenachsen und dem Schaubild von [mm]f_{2}[/mm]
> eingeschlossen wird?
> Hallo alle zusammen!
> Also ich habe gerade mal Mathe geübt, bis ich auf diese
> Aufgabe gestoßen bin. Hoffe mal, ihr könnt mir helfen. Ich
> schreibe am Besten mal meine eigenen Versuche hin, damit
> ihr vielleicht seht, woran es bei mir hängt.
>
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} f_{t}(x)[/mm] geht gegen [mm]\infty[/mm]
> Für [mm]-\infty[/mm] geht [mm]f_{t}(x)[/mm] gegen 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu den Wendestellen und Extrema komme ich bei b) bzw c).
>
> b) Die erste Ableitung ist bei mir: f'_{t}(x)=
> [mm]e^{x}*(2*e^{x}-t).[/mm] Für die Extrema muss ich diese Ableitung
> ja 0 setzen, wobei dann bei mir [mm]herauskommt:\IL={when t>0, ln \bruch{t}{2}}.[/mm]
> Wenn ich jetzt also [mm]\bruch{t}{2}[/mm] als x-Wert in [mm]f_{t}(x)[/mm]
> einsetze, wäre mein y-Wert: y= [mm]\bruch{-(t)^{2}}{4}[/mm]
> Jetzt ist mein Problem das, das ich nicht weiß, wie man
> diese Kurve erstellt. Ich versuchs mal:
> Zunächst isoliere ich t aus dem x-Wert: [mm]x=ln(\bruch{t}{2})[/mm]
> wird zu [mm]t=2*e^{x}.[/mm] Das jetzt in den y-Wert eingesetzt wäre
> bei mir: y= [mm]\bruch{-(2*e^{x})^{2}}{4}=h(x)[/mm]
> Aber ist das meine gesuchte Gleichung??? Bin ein bisschen
> durcheinander.
[mm] $\bffamily \text{Ja, das ist sie. Du könntest noch etwas vereinfachen: }\bruch{-\left(2*e^{x}\right)^{2}}{4}=\bruch{-4*e^{2x}}{4}=-e^{2x}$
[/mm]
>
> c) Für die Wendestellen wird die 2. Ableitung 0 gesetzt.
> Die 2. Ableitung sieht bei mir so aus:
> [mm]f''_{t}(x)=e^{x}*(4*e^{x}-t).[/mm]
> Diese Ableitung jetzt 0 gesetzt ergibt: [mm]\IL={when t>0, ln(\bruch{t}{4}}.[/mm]
> Der x-Wert in [mm]f_{t}(x)[/mm] eingesetzt ergibt den y-Wert: y=
> [mm]\bruch{-3*(t)^{2}}{16}.[/mm] Das t würde ich aus dem x-Wert
> wieder isolieren und in y einsetzen:
> [mm]y=\bruch{-3*(4*e^{x})^{2}}{16}=g(x).[/mm] Stimmt das so?
>
[mm] $\bffamily \text{Wieder noch vereinfachbar.}$
[/mm]
> d)Für die gemeinsamen Punkte muss doch eigentlich gelten:
> h(x)=g(x), oder?
> In Zahlen müsste das so aussehen:
> [mm]\bruch{-(2*e^{x})^{2}}{4}=\bruch{-3*(4*e^{x})^{2}}{16}[/mm]
> Muss man jetzt nach x auflösen? Ich vermute das jetzt
> einfach mal und versuche, was dabei herauskommt, aber das
> geht nicht. Man kann hier nicht nach x auflösen. Was mache
> ich also falsch?
[mm] $\bffamily \text{Du könntest das doch mal allgemein zeigen und einfach zwei Variablen festlegen, }t\text{ und }p\text{. Wenn du dann}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{zeigst, dass die Gleichung der Schnittpunkte dieser beiden Funktion nicht nach }x\text{ auflösbar ist, dann hast du's.}$
[/mm]
>
> Bei der e´) habe ich ungefähre Vorstellungen. Ich denke,
> ich muss einfach ableiten, oder? Und das mit der Fläche
> denke ich auch,d ass ich es hinbekommen müsste.
>
[mm] $\bffamily \text{Nicht ableiten, sondern integrieren. Zeig' deine Lösungsansätze.}$
[/mm]
> Aber vielleicht könnt ihr mir ja bei den oberen
> Teilaufgaben helfen? Wäre wirklich super
>
> Bis dahin, liebe Grüße,
> Pure
[mm] $\bffamily \text{Grüße, Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Di 06.02.2007 | | Autor: | Pure |
Hi Stefan, vielen lieben Dank für deine Antwort! 
Der Aufgabenteil mit den gemeinsamen Punkten habe ich eben nochmal gelesen und dabei gemerkt, dass nicht die beiden davor errechnten Kurven von Extrema und Wendestellen zu vergleichen sind, sondern Funktionen dieser Schar. Also müsste es doch eigentlich heißen:
[mm] f_{t}(x)=f_{k}(x)
[/mm]
[mm] e^{x}*(e^{x}-t)=e^{x}*(e^{x}-k)
[/mm]
Wenn ich das allerdings nach x auflösen lasse, kommt als Ergebnis heraus: t-k=0. Und jetzt? Gibt es keine gemeinsamen Punkte oder was sagt mir dieses Ergebnis?
Bei der e) habe ich das mit dem Ableiten so gemeint, dass wenn ich F(x) ableite, dass dann f(x) rauskommt.
Zu der Fläche habe ich jetzt allerdings doch noch eine Frage. Um die Nullstellen im negativen x-Bereich herauszubekommen, habe ich gedacht, kann ich [mm] f_{2}(x)=0 [/mm] setzen. Allerdings kommt nur eine positive Nullstelle heraus, nämlich bei x= ln(2).
Im negativen x-Bereich konvergiert die Funktion nur gegen 0, ohne die x-Achse zu schneiden. Und an dieser Stelle bin ich ratlos. Ich weiß nicht, wie ich dieses Problem löse. Eine meiner Grenzen wäre ja 0. Aber da kommt gerade noche ine ganz doofe Frage auf, die mir schon ein bisschen peinlich ist*g*: Wo ist der 4. Quadrant?
liebe grüße, Pure
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> Hi Stefan, vielen lieben Dank für deine Antwort!
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> Der Aufgabenteil mit den gemeinsamen Punkten habe ich eben
> nochmal gelesen und dabei gemerkt, dass nicht die beiden
> davor errechnten Kurven von Extrema und Wendestellen zu
> vergleichen sind, sondern Funktionen dieser Schar. Also
> müsste es doch eigentlich heißen:
> [mm]f_{t}(x)=f_{k}(x)[/mm]
> [mm]e^{x}*(e^{x}-t)=e^{x}*(e^{x}-k)[/mm]
> Wenn ich das allerdings nach x auflösen lasse, kommt als
> Ergebnis heraus: t-k=0. Und jetzt? Gibt es keine
> gemeinsamen Punkte oder was sagt mir dieses Ergebnis?
>
[mm] $\bffamily \text{Das Ergebnis ist leider falsch, überprüf' oder zeig' deine Rechnungen, es gibt zwei Schnittpunkte in Abhängigkeit von }k\text{ und }t\text{.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Was das jetzt genau heißt, muss dir jemand andres sagen, so ganz verstehen tu' ich die Aufgabenstellung nicht.}$
[/mm]
> Bei der e) habe ich das mit dem Ableiten so gemeint, dass
> wenn ich F(x) ableite, dass dann f(x) rauskommt.
[mm] $\bffamily \text{Stimmt, da hab' ich ungenau gelesen. Ist natürlich genau richtig so!}$
[/mm]
> Zu der Fläche habe ich jetzt allerdings doch noch eine
> Frage. Um die Nullstellen im negativen x-Bereich
> herauszubekommen, habe ich gedacht, kann ich [mm]f_{2}(x)=0[/mm]
> setzen. Allerdings kommt nur eine positive Nullstelle
> heraus, nämlich bei x= ln(2).
> Im negativen x-Bereich konvergiert die Funktion nur gegen
> 0, ohne die x-Achse zu schneiden. Und an dieser Stelle bin
> ich ratlos. Ich weiß nicht, wie ich dieses Problem löse.
> Eine meiner Grenzen wäre ja 0. Aber da kommt gerade noche
> ine ganz doofe Frage auf, die mir schon ein bisschen
> peinlich ist*g*: Wo ist der 4. Quadrant?
>
[mm] $\bffamily \text{Das ist die Fläche im negativen }x\text{-Bereich und negativen }y\text{-Bereich.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Die Nullstelle(n) musst du hier gar nicht bestimmen. Als obere Grenze ist dir ja 0 gegeben durch die Einschränkung}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{"'4. Quadrant"'. Ich gebe dir den Ansatz:}$
[/mm]
[mm] $$\bffamily A_{gesucht}=\left|\lim_{b\to -\infty}\int\limits^{0}_{b}f_{2}\left(x\right)\,\mathrm{d}x\right|$$
[/mm]
> liebe grüße, Pure
[mm] $\bffamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Di 06.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pure!
Ich kann keinen Fehler in Deiner Rechnung entdecken.
Und da Du nun die Gleichung $k \ = \ t$ erhältst, was der Eingangsvoraussetzung $k \ [mm] \not= [/mm] \ t$ (wegen "verschiedener" Funktionen) widerspricht, folgt daraus: es gibt keine gemeinsamen Punkte.
Gruß
Loddar
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[mm] $\bffamily \text{Habe gerade meinen Fehler entdeckt, hatte die Gleichung leicht falsch aufgeschrieben.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Ist natürlich korrekt so, jetzt kann ich auch was damit anfangen.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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