Funktionenschar und Tiefpunkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=2+$ [mm] e^{a*x} [/mm] $-$ [mm] e^{x} [/mm] $ ; a>1
a) Berechne den Tiefpunkt von fa(x) in Abhängigkeit von a.
b) Bestimme den Wert für a, für der Tiefpunkt die y-Koordinate 1,5 hat.
c) Begründe: Für a<1 hätte Kfa keinen Tiefpunkt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe zuerst versucht den Tiefpunkt durch einsetzen von einem Wert in a zu berechnen, damit ich einen Überblick bekomme.
Ich habe den Wert 2 für a eingesetzt.
f2(x)=2+$ [mm] e^{2*x} [/mm] $-$ [mm] e^{x} [/mm] $
dieses habe ich abgeleitet
f2'(x)=$ [mm] 2*e^{2*x} [/mm] $-$ [mm] e^{x} [/mm] $
f2''(x)=$ [mm] 4*e^{2*x} [/mm] $-$ [mm] e^{x} [/mm] $
Lösung durch Ausklammern [mm] e^{x}$(2e^{x}-1)=0$
[/mm]
[mm] $2e^{x}-1=0$
[/mm]
x=ln 1/2
x=ln 1/2 habe ich eingesetzt in f2(x)
und habe f2(ln 1/2)=1,75 rausbekommen
also Tiefpunkt ist (ln 1/2;1,75)
Ich habe diese Methode bei der eigentlichen Aufgabe bei a) angewendet, aber irgendwie komme ich nicht auf ein Ergebnis.
Ich bin in Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Und verstehe b ebenfalls nicht und habe keinen Plan was ich machen soll.
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen würde.
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Hallo CastaKyose und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=2+[mm] e^{a*x} [/mm]-[mm] e^{x}[/mm] ;
> a>1
>
> a) Berechne den Tiefpunkt von fa(x) in Abhängigkeit von
> a.
> b) Bestimme den Wert für a, für der Tiefpunkt die
> y-Koordinate 1,5 hat.
> c) Begründe: Für a<1 hätte Kfa keinen Tiefpunkt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Also ich habe zuerst versucht den Tiefpunkt durch
> einsetzen von einem Wert in a zu berechnen, damit ich
> einen Überblick bekomme.
> Ich habe den Wert 2 für a eingesetzt.
>
> f2(x)=2+[mm] e^{2*x} [/mm]-[mm] e^{x}[/mm]
>
> dieses habe ich abgeleitet
> f2'(x)=[mm] 2*e^{2*x} [/mm]-[mm] e^{x}[/mm]
> f2''(x)=[mm] 4*e^{2*x} [/mm]-[mm] e^{x}[/mm]
>
> Lösung durch Ausklammern [mm]e^{x}[/mm] [mm](2e^{x}-1)=0[/mm]
>
> [mm]2e^{x}-1=0[/mm]
> x=ln 1/2
> x=ln 1/2 habe ich eingesetzt in f2(x)
> und habe f2(ln 1/2)=1,75 rausbekommen
> also Tiefpunkt ist (ln 1/2;1,75)
Naja, das solltest du ja eigentlich andersherum machen, allg. a) bearbeiten und dann dasjenige [mm]a[/mm] so bestimmen, dass 1,75 die y-Koordinate des TP ist
>
> Ich habe diese Methode bei der eigentlichen Aufgabe bei a)
> angewendet, aber irgendwie komme ich nicht auf ein
> Ergebnis.
Na, du rechnest die Ableitung(en) genauso mit der Kettenregel aus, wie in deinem Bsp. für [mm]a=2[/mm]
[mm]f_a(x)=2+e^{ax}-e^x[/mm]
[mm]\Rightarrow f_a'(x)=a\cdot{}e^{ax}-e^x[/mm]
[mm]\Rightarrow f_a''(x)=\ldots[/mm] - dein Part
Dann: [mm]f_a'(x)=0\gdw e^x\cdot{}\left(ae^{(a-1)x}-1\right)=0[/mm] usw.
> Ich bin in Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Und verstehe
> b ebenfalls nicht und habe keinen Plan was ich machen
> soll.
> Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen würde.
Reicht das schon?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 So 13.11.2011 | | Autor: | CastaKyose |
Ich danke dir sehr für deine Antwort. Nur bei x habe ich dann [mm] \left( \bruch{ln1/2}{a-1} \right) [/mm] raus. Stimmt das? Und den x Wert muss ich ja dann in fa(x) einsetzen. Und genau dort kann ich nicht mehr weiter rechnen.
Außerdem kontest du mir auch bei den anderen zwei Aufgaben helfen?
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=2+- ;
a>1
a) Berechne den Tiefpunkt von fa(x) in Abhängigkeit von
a.
b) Bestimme den Wert für a, für der Tiefpunkt die
y-Koordinate 1,5 hat.
c) Begründe: Für a<1 hätte Kfa keinen Tiefpunkt. |
>Dann: $ [mm] f_a'(x)=0\gdw e^x\cdot{}\left(ae^{(a-1)x}-1\right)=0 [/mm] $
Wie kommst du auf das (a-1).
Aber wenn ich auf diese Weise weiter rechne komme ich auf das x Wert [mm] \left( \bruch{ln1/a}{a-1} \right) [/mm]
stimmt das?
Ab hier komme ich nicht mehr weiter, weil wenn ich dieses X Wert in fa(x) einsetze, kann ich nicht weiter rechnen.
Und bei b) und c) brauche ich auch Hilfe.
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Hallo,
zu a)
[mm] f'(x)=a*e^{ax}-e^{x}
[/mm]
[mm] 0=a*e^{ax}-e^{x}
[/mm]
jetzt wird [mm] e^{x} [/mm] ausgeklammert
[mm] 0=e^{x}*(a*e^{(a-1)x}-1)
[/mm]
benutze ein Potenzgesetz: zwei Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert
[mm] e^{x}*e^{(a-1)x}=e^{x}*e^{ax-x}=e^{x+ax-x}=e^{x}
[/mm]
[mm] x=\bruch{ln\bruch{1}{a}}{a-1}=\bruch{-ln(a)}{a-1}
[/mm]
[mm] f(\bruch{-ln(a)}{a-1})=2+e^{a*\bruch{-ln(a)}{a-1}}-e^{\bruch{-ln(a)}{a-1}}
[/mm]
zu b)
löse
[mm] 1,5=2+e^{a*\bruch{-ln(a)}{a-1}}-e^{\bruch{-ln(a)}{a-1}}
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 So 13.11.2011 | | Autor: | CastaKyose |
Ich danke dir sehr Steffi21, deine Antwort war mir sehr hilfreich.
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