Funktionenschar und Wendepunkt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Di 13.09.2005 | | Autor: | ONeill |
Hy!
Also ich habe folgende Aufgabe bekommen:
Durch ft (das t ist etwas nach unten versetzt) mit [mm] ft(x)=x^3-(4t-t^3)x^2 [/mm] , t kleiner oder gleich 0 ist eine Funktionenschar gegeben.
a.) Zeichnen Sie die Graphen für t=0;0,5,1;2;2,5 in ein gemeinsames Koordinatensystem.
b.)Für welchen Wert von t liegt der Wendepunkt am weitesten "rechts"?
c.)Für welchen Wert von t liegt der Wendepunkt am "tiefsten"?
Also mit a hatte ich noch keine Probleme.
Erste Frage:
Was bringt so eine Funktionenschar eigentlich?
Bei b müsste man ja nun mit dem Wendepunkt rechnen. Also die zweite Ableitung gleich 0 setzten. Aber wie kommt man dann auf den am weitesten "rechts" liegenden Extrempunkt?
Das ist ja im Prinzip eine Aufgabe bezüglich von Extremwerten. Heirbei ist der Wert der am extremsten werden soll also x.
Wie ist dann aber die Extremalbedingugn und die Nebenbedingung?
Wenn ich die beiden hätte könnte ich sicherlich ineinander einsetzen und so zu Zielfunktion kommen.
Bei c ist das ganze dann ja ähnlich, jedoch ist der Wert der am extremsten werden soll y.
Das war eigentlich so ziehmlich alles, was mir zu der Aufgabe einfällt. Ich höffe ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
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Hallo ONeill!
> Durch ft (das t ist etwas nach unten versetzt) mit
> [mm]ft(x)=x^3-(4t-t^3)x^2[/mm] , t kleiner oder gleich 0 ist eine
> Funktionenschar gegeben.
Schreibe doch f_t(x) , dann wird daraus [mm] $f_t(x)$ [/mm] !
> Bei b müsste man ja nun mit dem Wendepunkt rechnen. Also
> die zweite Ableitung gleich 0 setzten. Aber wie kommt man
> dann auf den am weitesten "rechts" liegenden Extrempunkt?
> Das ist ja im Prinzip eine Aufgabe bezüglich von
> Extremwerten. Heirbei ist der Wert der am extremsten werden
> soll also x.
Die Wendestelle [mm] $x_w$ [/mm] ist ja abhängig sein von unserem Scharparameter $t_$, d.h. doch wir haben hier ein Funktion [mm] $x_w [/mm] \ = \ x(t)$ .
Für diese Funktion $x(t)_$ musst Du nun Deine Extremalberechnung durchführen (Nullstellen der 1. Ableitung $x'(t)_$ usw.) und das Maximum ermitteln.
Analog funktioniert das bei c.) Hier erhält man ja letztendlich:
[mm] $y_w [/mm] \ = \ y(t)$ und das ganze Spiel noch mal  ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 14.09.2005 | | Autor: | ONeill |
Also...
... Je nachdem wie groß t ist, ergiebt sich im Graphen ein anderer Wendepunkt und der, der am weitesten "rechts" liegt ist gesucht. Ok.
Aber erhlich gesagt bringt mich das noch nicht weiter. Ich habs mal so vesucht:
Extremalbedingung:$ [mm] x_w [/mm] \ = \ x(t) $
Die Nebenbedingung ist dann ja die Funktion selbst:
[mm] f(t)=x^3-(4t-t^3)x^2
[/mm]
Aber wie kann soll ich das dann in die Extremalbedingung einsetzen um zur Zielfunktion zu kommen?
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Hallo ONeill!
Beginnen wir mal.
Die 2. Ableitung lautet ja : [mm] $f_t''(x) [/mm] \ = \ [mm] 6x-2*\left(4t-t^3\right)$
[/mm]
Durch Nullsetzen und Umstellen erhalten wir:
[mm] $x_w [/mm] \ = \ x(t) \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(4t-t^3\right)$
[/mm]
Damit haben wir nun in Abhängigkeit vom Parameter $t_$ die Wendestelle. Und für diese Funktion $x(t)_$ ist nun die Extremalberechnung durchzuführen (Aufgabe b.).
Also hierfür die Ableitungen bilden und [mm] $t_{max}$ [/mm] berechnen.
Für Aufgabe c.) musst Du nun den Wert [mm] $x_w$ [/mm] in die Ausgangsgleichung einsetzen:
[mm] $y_w [/mm] \ = \ y(t) \ = \ [mm] x_w^3 [/mm] - [mm] \left(4t-t^3\right)*x_w^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[\bruch{1}{3}*\left(4t-t^3\right)\right]^3 [/mm] + [mm] \left(4t-t^3\right)*\left[\bruch{1}{3}*\left(4t-t^3\right)\right]^2$
[/mm]
Dies nun zusammenfassen und eine weitere Extremwertberechnung.
Kommst Du nun weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 14.09.2005 | | Autor: | ONeill |
Sorry aber bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter...
Also du hast erstmal die 2. Ableitung gebildet(habe ich auch Schwierigkeiten), weil wir die Wendestelle suchen. Hab ich verstanden.
Dann wird der Wendepunkt =0 gesetzt, damit wir ja erstmal (wie "normal" auch) den Wendepunkt berechnen könnten.
Diese Gleichung hat dann zu Folge, dass wir x mit t (oder andersrum) "beschreiben" können.
Dann meintest du, man könne hierbei dann noch vereinfachen. Meinst du damit das Ausklammer von [mm] (4t-t^3)?
[/mm]
Und wie meinst du das dann nochmal eine extremberechnung machen? Nochmal ne Ableitung davon bilden oder sofort =0 setzten
Danke für deine Mühe!!
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Hallo ONeill!
Bleiben wir mal zunächst bei b.) ...
Wie wir zu [mm] $x_w [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(4t-t^3\right)$ [/mm] gekommen sind, ist klar?
Und genau hierfür führen wir eine Extremwertberechnung durch, also zunächst die beiden Ableitungen bilden:
$x(t) \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(4t-t^3\right)$
[/mm]
$x'(t) \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(4-3*t^2\right)$
[/mm]
$x''(t) \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(0-6*t\right) [/mm] \ = \ -2*t$
Für Extremwerte [mm] $t_e$ [/mm] (schließlich wollen wir ja ein extremales [mm] $x_{max}$ [/mm] ausrechnen) suchen wir also wie gehabt die Nullstellen der 1. Ableitung:
[mm] $x'(t_e) [/mm] \ = \ 0 \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(4-3*t_e^2\right)$
[/mm]
Was erhältst Du hier als mögliche Extremstelle [mm] $t_e$ [/mm] ??
Anschließend den ermittelten Wert in die 2. Ableitung $x''(t)$ einsetzen und überprüfen, ob [mm] $x''(x_e) [/mm] \ < \ 0$, damit wir bestätigen können, es handelt sich um ein Maximum.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 14.09.2005 | | Autor: | ONeill |
Also ich fasse nochmal alles zusammen ob ich das richtig verstanden habe:
Wir nehmen die zweite Ableitung der Ausgangsfunktion, weil wir ja einen Wendepunkt ausrechnen wollen.
Die zweite Ableitung setzen wir dann =0 und stellen um und haben dann
[mm] x(t)=1/3*(4t-3t^3)
[/mm]
Von dieser machen wir dann die erste Ableitung weil wir "im Moment" davon die Extremstelle suchen(zweite Ableitung wird auf Vorat angelegt brauchen wir später).
Diese Ableitung wird dann =0 gesetzt. Mein Ergebniss dabei ist Wurzel aus ein ein drittel und minus Wurzel aus ein ein drittel.
Wir suchen aber nur das Maximum und setzen desshalb in die zweite Ableitung ein, um unser Ergebniss zu überprüfen.
Dabei ergiebt sich, dass Wurzel aus ein ein drittel unser gesuchter gesuchtes t ist.
Das war in der b.) gefragt und somit haben wir die Lösung? Man kann dann noch die ganze Funktion angeben.
Habe ich das nun richtig verstanden?
Dann müssten wir bei c.) ähnlich vorgehen.
Bilden wieder die zweite Ableitung der Ausgangsfunktion(bzw haben wir das ja schon).
Und dann müsstest du mir nur noch einen kleinen Tipp geben wie es dabei weitergeht.
Vielen, vielen Dank!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du meinst also [mm] $t_e [/mm] \ = \ [mm] \pm \wurzel{1\bruch{1}{3}}$ [/mm] ??
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
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