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| Aufgabe | Durch [mm] f_{a}(x)= x^{3}+ax^{2}+(a-1)x [/mm] (a [mm] \in \IR) [/mm] ist eine Funktionenschar gegeben. Die zugehörigen Schaubilder seien [mm] K_{a}.
[/mm]
Zeige, dass alle Schaubilder [mm] K_{a} [/mm] zwei Punkte gemeinsam haben. |
( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
Ich habe versucht, die Aufgabe zu machen, aber irgendwie klappt es nicht.
Ich poste mal hier meinen Lösungsversuch:
Als erstes bin ich mal davon ausgegangen, dass ich 2 verschiedene "a"'s habe, das heißt: [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2}.
[/mm]
Also hätte ich zwei unterschiedliche Funktionen mit 2 verschiedenen a-Werten:
1) [mm] f_{a1}(x)= x^{3}+a_{1}x^{2}+(a_{1}-1)x
[/mm]
2) [mm] f_{a2}(x)= x^{3}+a_{2}x^{2}+(a_{2}-1)x
[/mm]
Als nächstes würde ich dann beide Funktionen gleichsetzen, denn man möchte schließlich die 2 gemeinsamen Punkte rausfinden:
[mm] x^{3}+a_{1}x^{2}+(a_{1}-1)x [/mm] = [mm] x^{3}+a_{2}x^{2}+(a_{2}-1)x
[/mm]
[mm] a_{1}x^{2}+(a_{1}-1)x [/mm] = [mm] a_{2}x^{2}+(a_{2}-1)x
[/mm]
[mm] a_{1}x^{2}+ a_{1}x-x [/mm] = [mm] a_{2}x^{2}+a_{2}x-x
[/mm]
So komme ich auf diese Form [mm] \to a_{1}x^{2}+ a_{1}x [/mm] = [mm] a_{2}x^{2}+a_{2}x
[/mm]
Frage: Was bringt mir das?? Ich habe ja immer noch nicht diese 2 Punkte rausgefunden! Natürlich könnte man jetzt noch entweder [mm] a_{1},a_{2} [/mm] oder x ausklammern:
[mm] a_{1}(x^{2}+ [/mm] x) = [mm] a_{2}(x^{2}+ [/mm] x)
[mm] x(a_{1}x+ a_{1}) [/mm] = [mm] x(a_{2}x+ a_{2})
[/mm]
...aber was bringt mir das?? Ich bin wirklich am Verzweifeln :(.
Danke im Vorraus für Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 So 18.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Durch [mm]f_{a}(x)= x^{3}+ax^{2}+(a-1)x[/mm] (a [mm]\in \IR)[/mm] ist eine
> Funktionenschar gegeben. Die zugehörigen Schaubilder seien
> [mm]K_{a}.[/mm]
>
> Zeige, dass alle Schaubilder [mm]K_{a}[/mm] zwei Punkte gemeinsam
> haben.
> ( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. )
> Ich habe versucht, die Aufgabe zu machen, aber irgendwie
> klappt es nicht.
>
> Ich poste mal hier meinen Lösungsversuch:
>
>
> Als erstes bin ich mal davon ausgegangen, dass ich 2
> verschiedene "a"'s habe, das heißt: [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}.[/mm]
> Also hätte ich zwei unterschiedliche Funktionen mit 2
> verschiedenen a-Werten:
> 1) [mm]f_{a1}(x)= x^{3}+a_{1}x^{2}+(a_{1}-1)x[/mm]
> 2) [mm]f_{a2}(x)= x^{3}+a_{2}x^{2}+(a_{2}-1)x[/mm]
>
> Als nächstes würde ich dann beide Funktionen gleichsetzen,
> denn man möchte schließlich die 2 gemeinsamen Punkte
> rausfinden:
>
> [mm]x^{3}+a_{1}x^{2}+(a_{1}-1)x[/mm] = [mm]x^{3}+a_{2}x^{2}+(a_{2}-1)x[/mm]
>
> [mm]a_{1}x^{2}+(a_{1}-1)x[/mm] = [mm]a_{2}x^{2}+(a_{2}-1)x[/mm]
>
> [mm]a_{1}x^{2}+ a_{1}x-x[/mm] = [mm]a_{2}x^{2}+a_{2}x-x[/mm]
>
> So komme ich auf diese Form [mm]\to a_{1}x^{2}+ a_{1}x[/mm] =
> [mm]a_{2}x^{2}+a_{2}x[/mm]
>
> Frage: Was bringt mir das?? Ich habe ja immer noch nicht
> diese 2 Punkte rausgefunden! Natürlich könnte man jetzt
> noch entweder [mm]a_{1},a_{2}[/mm] oder x ausklammern:
>
> [mm]a_{1}(x^{2}+[/mm] x) = [mm]a_{2}(x^{2}+[/mm] x)
>
> [mm]x(a_{1}x+ a_{1})[/mm] = [mm]x(a_{2}x+ a_{2})[/mm]
>
>
> ...aber was bringt mir das?? Ich bin wirklich am
> Verzweifeln :(.
>
Super, soweit alles richtig,
Jetzt musst du das ganze noch nach x auflösen.
Also:
[mm] a_{1}x^{2}+ a_{1}x [/mm] = [mm] a_{2}x^{2}+a_{2}x
[/mm]
[mm] \gdw a_{1}x² [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] - [mm] a_{2}x² [/mm] - [mm] a_{2}x [/mm] = 0
[mm] \gdw (a_{1} [/mm] - [mm] a_{2}) [/mm] x² + [mm] (a_{1} [/mm] - [mm] a_{2}) [/mm] x = 0
[mm] \gdw x[(a_{1} [/mm] - [mm] a_{2})x [/mm] + [mm] (a_{1} [/mm] - [mm] a_{2})] [/mm] = 0
Jetzt hast du ein Produkt, dass Null ergeben soll. Das heisst, einer der beiden Faktoren soll null ergeben. Nun, der erste Faktor (x) wird fur x = 0 zu Null. Das heisst, der erste Punkt, den alle Graphen der Schar gemeinsam haben ist (0/f(0)) = (0/0)
Jetzt zum zweiten Faktor:
[mm] (a_{1} [/mm] - [mm] a_{2})x [/mm] + [mm] (a_{1} [/mm] - [mm] a_{2}) [/mm] = 0
[mm] \gdw (a_{1} [/mm] - [mm] a_{2})x [/mm] = [mm] -(a_{1} [/mm] - [mm] a_{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{-(a_{1} - a_{2})}{a_{1} - a_{2}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= -1.
Also ist der zweite gemeinsame Punkt (1/f(1)) = (1/0)
> Danke im Vorraus für Hilfe :)
>
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Ich hoffe, das hilft weiter.
Marius
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Ahh.....Ja natürlich :) Darauf könnte ich auch wirklich selbst kommen....der Lösungsweg ist wirklich banal... vielen lieben Dank für diese schnelle und ausführliche Antwort :)
Schönen Tag noch :)
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