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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Sa 13.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
| Aufgabe | Bestimme und klassifiziere alle Singularitäten der Funktion
[mm] f(z)=\bruch{z-4i\pi}{z(e^z-1)} [/mm] |
Hallo,
um die Singularität zu bestimmen, versuche ich erst eine Laurentreihenentwicklung um den Punkt [mm] z_0=0 [/mm] zu berechnen. Ich habe erst die Funktion in
[mm] f(z)=\bruch{1}{(e^z-1)}+\bruch{-4i\pi}{z(e^z-1)}
[/mm]
zerlegt. Jetzt versuche ich irgendwie aus jedem Sumanden eine geometrische Reihe machen. Dafür habe ich umgeformt, wie folgt:
[mm] \bruch{-1}{1-e^z}+ \bruch{4i\pi}{1-e^z}=
[/mm]
[mm] -\summe_{i=0}^{\infty} (e^z)^n +\bruch{4i\pi}{z} *\summe_{i=0}^{\infty}(e^z)^n [/mm] =
[mm] -\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(z^n)^n}{n!}+4i\pi*\bruch{1}{z}*\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(z^n)^n}{n!}
[/mm]
Aber was ist mit [mm] e^z? [/mm]
Hat einer vielleicht eine Idee?
Grüße
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
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Hallo ftm2037,
> Bestimme und klassifiziere alle Singularitäten der
> Funktion
> [mm]f(z)=\bruch{z-4i\pi}{z(e^z-1)}[/mm]
> Hallo,
>
> um die Singularität zu bestimmen, versuche ich erst eine
> Laurentreihenentwicklung um den Punkt [mm]z_0=0[/mm] zu berechnen.
> Ich habe erst die Funktion in
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{(e^z-1)}+\bruch{-4i\pi}{z(e^z-1)}[/mm]
>
> zerlegt. Jetzt versuche ich irgendwie aus jedem Sumanden
> eine geometrische Reihe machen. Dafür habe ich umgeformt,
> wie folgt:
>
> [mm]\bruch{-1}{1-e^z}+ \bruch{4i\pi}{1-e^z}=[/mm]
>
> [mm]-\summe_{i=0}^{\infty} (e^z)^n +\bruch{4i\pi}{z} *\summe_{i=0}^{\infty}(e^z)^n[/mm]
> =
> [mm]-\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(z^n)^n}{n!}+4i\pi*\bruch{1}{z}*\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(z^n)^n}{n!}[/mm]
>
> Aber was ist mit [mm]e^z?[/mm]
>
> Hat einer vielleicht eine Idee?
>
Zerlege den [mm]e^{z}-1\right)[/mm] in seine "Nullstellen".
[mm]e^{z}-1=\produkt_{k=0}^{\infty}\left(z-i*2k\pi\right)[/mm]
Dann benutze [mm]f\left(z\right)[/mm], so wie es in der Aufgabe steht.
Und setze dann die vorhergehende Zerlegung ein.
> Grüße
>
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 So 14.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Hallo,
ich habe jetzt [mm] (e^z-1) [/mm] in linearen Faktoren zerlegt und bekommen:
[mm] f(z)=\bruch{1}{z^2(z-2i\pi)(z-6i\pi)(z-8i\pi)...}
[/mm]
Wie kann ich aber daraus die Laurentreihenentwicklung machen? Ich komme leider nicht weiter!
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Hallo ftm2037,
> Hallo,
>
> ich habe jetzt [mm](e^z-1)[/mm] in linearen Faktoren zerlegt und
> bekommen:
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z^2(z-2i\pi)(z-6i\pi)(z-8i\pi)...}[/mm]
> Wie kann ich aber daraus die Laurentreihenentwicklung
> machen? Ich komme leider nicht weiter!
Eine Laurententwicklung ist hier, glaube ich, nicht der geschickteste Weg.
Jetzt kannst Du ja schon die Singularitäten klassifizieren.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 14.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Ok, ich habe jetzt Folendes gemacht:
f(z)= [mm] \bruch{1}{z^2(z-2i\pi)(z-6i\pi)(z-8i\pi)...}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{z-2i\pi}*\bruch{1}{z-6i\pi}*\bruch{1}{z-8i\pi}*...=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{-2i\pi(1-\bruch{z}{2i\pi})}*\bruch{1}{-6i\pi(1-\bruch{z}{6i\pi})}*\bruch{1}{-8i\pi(1-\bruch{z}{8i\pi})}*...=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(-2i\pi)(-6i\pi)(-8i\pi)...}*\bruch{1}{\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{2i\pi})^n* \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{6i\pi})^n* =\summe_{i=0}^{\infty}( \bruch{-z}{8i\pi})^n ...}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(-2i\pi)(-6i\pi)(-8i\pi)...}*\bruch{1}{\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2i\pi}*z^n* \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{6i\pi}*z^n* =\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{8i\pi}^*z^n ...}
[/mm]
So habe ich folgende Singularitäten um Punkt null festgestellt:
1- Polstelle 2-Ordnung wegen [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm]
2- Pollstelle n-Ordnung wegen [mm] z^n [/mm] im Nenner.
Ist die zweite nicht wesentliche Singularitäten, da wir unendlich viele Summen haben? Außerdem kann man in einem Punkt zwei verschidenen Singularitäten haben?
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Hallo ftm2037,
> Ok, ich habe jetzt Folendes gemacht:
>
> f(z)= [mm]\bruch{1}{z^2(z-2i\pi)(z-6i\pi)(z-8i\pi)...}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{z-2i\pi}*\bruch{1}{z-6i\pi}*\bruch{1}{z-8i\pi}*...=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{-2i\pi(1-\bruch{z}{2i\pi})}*\bruch{1}{-6i\pi(1-\bruch{z}{6i\pi})}*\bruch{1}{-8i\pi(1-\bruch{z}{8i\pi})}*...=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(-2i\pi)(-6i\pi)(-8i\pi)...}*\bruch{1}{\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{2i\pi})^n* \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{6i\pi})^n* =\summe_{i=0}^{\infty}( \bruch{-z}{8i\pi})^n ...}=[/mm]
Hier muss es heißen:
[mm]\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(-2i\pi)(-6i\pi)(-8i\pi)...}*\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{2i\pi})^n* \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{6i\pi})^n* \summe_{i=0}^{\infty}( \bruch{-z}{8i\pi})^n ...=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(-2i\pi)(-6i\pi)(-8i\pi)...}*\bruch{1}{\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2i\pi}*z^n* \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{6i\pi}*z^n* =\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{8i\pi}^*z^n ...}[/mm]
>
> So habe ich folgende Singularitäten um Punkt null
> festgestellt:
>
> 1- Polstelle 2-Ordnung wegen [mm]\bruch{1}{z^2}[/mm]
> 2- Pollstelle n-Ordnung wegen [mm]z^n[/mm] im Nenner.
>
> Ist die zweite nicht wesentliche Singularitäten, da wir
> unendlich viele Summen haben? Außerdem kann man in einem
> Punkt zwei verschidenen Singularitäten haben?
Anhand der obigen Laurentreihe kannst Du nur
die Ordnung des Pols [mm]z=0[/mm] bestimmen.
Gruß
MathePower
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